在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知抛物线的顶点坐标为 $(2,0)$，且经过点 $(4,1)$，如图，直线 $y=\frac{1}{4}x$与抛物线交于 $A$、 $B$两点，直线 $l$为 $y=-1$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 $l$上是否存在一点 $P$，使 $\mathit{PA}+B$取得最小值？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）知 $F(x_0$， $y_0)$为平面内一定点， $M(m,n)$为抛物线上一动点，且点 $M$到直线 $l$的距离与点 $M$到点 $F$的距离总是相等，求定点 $F$的坐标．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 二次函数的性质 待定系数法求二次函数解析式 二次函数综合题