如图1，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度-优题课

如图1，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点 $A$ 处，测得河的北岸边点 $B$ 在其北偏东 $45 °$ 方向，然后向西走 $60 m$ 到达 $C$ 点，测得点 $B$ 在点 $C$ 的北偏东 $60 °$ 方向，如图2．

（1）求 $∠ CBA$ 的度数．

（2）求出这段河的宽（结果精确到 $1 m$ ，备用数据 $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$ ．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形的应用-方向角问题

在开展“经典阅读”活动中，某学校为了解全校学生利用课外时间阅读的情况，学校团委随机抽取若干名学生，调查他们一周的课外阅读时间，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计表．根据图表信息，解答下列问题：

频率分布表

阅读时间（小时）	频数（人 $)$	频率
$1 ⩽ x < 2$	18	0.12
$2 ⩽ x < 3$	$a$	$m$
$3 ⩽ x < 4$	45	0.3
$4 ⩽ x < 5$	36	$n$
$5 ⩽ x < 6$	21	0.14
合计	$b$	1

（1）填空： $a =$ 　　， $b =$ 　　， $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）将频数分布直方图补充完整（画图后请标注相应的频数）；

（3）若该校由3000名学生，请根据上述调查结果，估算该校学生一周的课外阅读时间不足三小时的人数．

如图，一次函数 $y = 2 x - 4$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，且点 $A$ 的横坐标为3．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求点 $B$ 的坐标．

尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） $:$

已知线段 $a$ 和 $∠ AOB$ ，点 $M$ 在 $OB$ 上（如图所示）．

（1）在 $OA$ 边上作点 $P$ ，使 $OP = 2 a$ ；

（2）作 $∠ AOB$ 的平分线；

（3）过点 $M$ 作 $OB$ 的垂线．

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 \sqrt{3} ax - 9 a$ 与坐标轴交于 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，其中 $C (0, 3)$ ， $∠ BAC$ 的平分线 $AE$ 交 $y$ 轴于点 $D$ ，交 $BC$ 于点 $E$ ，过点 $D$ 的直线 $l$ 与射线 $AC$ ， $AB$ 分别交于点 $M$ ， $N$ ．

（1）直接写出 $a$ 的值、点 $A$ 的坐标及抛物线的对称轴；

（2）点 $P$ 为抛物线的对称轴上一动点，若 $ΔPAD$ 为等腰三角形，求出点 $P$ 的坐标；

（3）证明：当直线 $l$ 绕点 $D$ 旋转时， $\frac{1}{AM} + \frac{1}{AN}$ 均为定值，并求出该定值．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $CD ⊥ AB$ ，垂足为 $H$ ，连接 $AC$ ，过 $\hat{BD}$ 上一点 $E$ 作 $EG / / AC$ 交 $CD$ 的延长线于点 $G$ ，连接 $AE$ 交 $CD$ 于点 $F$ ，且 $EG = FG$ ，连接 $CE$ ．

（1）求证： $ΔECF ∽ ΔGCE$ ；

（2）求证： $EG$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（3）延长 $AB$ 交 $GE$ 的延长线于点 $M$ ，若 $\tan G = \frac{3}{4}$ ， $AH = 3 \sqrt{3}$ ，求 $EM$ 的值．