在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为(−6,0)．如-优题课

题文

在平面直角坐标系中，点 $O$ 为原点，点 $A$ 的坐标为 $(- 6, 0)$ ．如图1，正方形 $OBCD$ 的顶点 $B$ 在 $x$ 轴的负半轴上，点 $C$ 在第二象限．现将正方形 $OBCD$ 绕点 $O$ 顺时针旋转角 $α$ 得到正方形 $OEFG$ ．

（1）如图2，若 $α = 60 °$ ， $OE = OA$ ，求直线 $EF$ 的函数表达式．

（2）若 $α$ 为锐角， $\tan α = \frac{1}{2}$ ，当 $AE$ 取得最小值时，求正方形 $OEFG$ 的面积．

（3）当正方形 $OEFG$ 的顶点 $F$ 落在 $y$ 轴上时，直线 $AE$ 与直线 $FG$ 相交于点 $P$ ， $ΔOEP$ 的其中两边之比能否为 $\sqrt{2} : 1$ ？若能，求点 $P$ 的坐标；若不能，试说明理由

科目数学题型解答题难度较难

知识点：旋转的性质坐标与图形性质解直角三角形相似三角形的判定与性质几何变换综合题正方形的性质

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在△ABC内侧作射线，自B，C分别向射线AP引垂线，垂足分别为D，E,M为BC边中点，连接MD，ME．

（1）依题意补全图1；
（2）求证：MD=ME；
（3）如图2，若射线AP平分∠BAC，且AC>AB，求证：MD=．

已知：抛物线y=x²+bx+c经过点（2，-3）和（4，5）．

（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图像G，求图像G的表达式；
（3）在（2）的条件下，当-2<x<2时，直线y=m与该图像有一个公共点，求m的值或取值范围．

阅读下面材料：小强遇到这样一个问题：试作一个直角△ABC，使∠C=90°，AB=7，AC+BC=9．小强是这样思考的：如图1，假定直角△ABC已作出，延长AC到点D，使CD=CB，则AD=9，∠D=45°，因此可先作出一个辅助△ABD，再作BD的垂直平分线分别交AD于点C，BD于点E，连接BC，所得的△ABC即为所作三角形．具体做法小强是利用图2中1×1正方形网格，通过尺规作图完成的．

（1）请回答：图2中线段AB等于线段．
（2）参考小强的方法，解决问题：请在图3的菱形网格中（菱形最小内角为，边长为a），画出一个△ABC，使∠C=，AB=6b，AC+BC=8b．（在图中标明字母，不写作法，保留作图痕迹）．

已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，△ABC的外角平分线BD交⊙O于点D，DE⊥CB的延长线于点E．

（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若∠A=30°，BE=3，分别求线段DE和的长．

课外阅读是提高学生素养的重要途径．某校为了解学生课外阅读情况，随机抽查了50名学生，统计他们平均每天课外阅读时间t（小时）．根据t的长短分为A，B，C，D四类，下面是根据所抽查的人数绘制的两幅不完整的统计图表．请根据图中提供的信息，解答下面的问题：

（1）本次调查的样本容量为；
（2）求表格中的a的值，并在图中补全条形统计图；
（3）该校现有1200名学生，请你估计该校共有多少名学生课外阅读时间不少于1小时？

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