在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数-优题课

在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程 $x^{2} - 5 x + 2 = 0$ ，操作步骤是：

第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点 $A (0, 1)$ ， $B (5, 2)$ ；

第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点 $A$ ，另一条直角边恒过点 $B$ ；

第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在 $x$ 轴上点 $C$ 处时，点 $C$ 的横坐标 $m$ 即为该方程的一个实数根（如图 $1)$ ；

第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在 $x$ 轴上另一点 $D$ 处时，点 $D$ 的横坐标 $n$ 即为该方程的另一个实数根．

（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点 $D$ （请保留作出点 $D$ 时直角三角板两条直角边的痕迹）；

（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的 $m$ 就是方程 $x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 的一个实数根；

（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程 $a x^{2} + bx + c = 0 (a \neq 0, b^{2} - 4 ac ⩾ 0)$ 的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；

（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当 $m_{1}$ ， $n_{1}$ ， $m_{2}$ ， $n_{2}$ 与 $a$ ， $b$ ， $c$ 之间满足怎样的关系时，点 $P (m_{1}$ ， $n_{1})$ ， $Q (m_{2}$ ， $n_{2})$ 就是符合要求的一对固定点？

科目数学题型解答题难度较难

知识点：相似三角形的判定与性质三角形综合题