欧拉(Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家-优题课

题文

欧拉 $(Euler$ ，1707年 $~ 1783$ 年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数 $V (Vertex)$ 、棱数 $E (Edge)$ 、面数 $F (Flatsurface)$ 之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．

（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：

名称	三棱锥	三棱柱	正方体	正八面体
图形
顶点数 $V$	4	6	8	6
棱数 $E$	6		12
面数 $F$	4	5		8

（2）分析表中的数据，你能发现 $V$ 、 $E$ 、 $F$ 之间有什么关系吗？请写出关系式：　　．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：欧拉公式

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小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第 $16 \min$ 回到家中．设小明出发第 $tmin$ 时的速度为 $vm / \min$ ，离家的距离为 $sm$ ， $v$ 与 $t$ 之间的函数关系如图所示（图中的空心圈表示不包含这一点）．

（1）小明出发第 $2 \min$ 时离家的距离为　　 $m$ ；

（2）当 $2 < t ⩽ 5$ 时，求 $s$ 与 $t$ 之间的函数表达式；

（3）画出 $s$ 与 $t$ 之间的函数图象．

已知二次函数 $y = 2 (x - 1) (x - m - 3) (m$ 为常数）．

（1）求证：不论 $m$ 为何值，该函数的图象与 $x$ 轴总有公共点；

（2）当 $m$ 取什么值时，该函数的图象与 $y$ 轴的交点在 $x$ 轴的上方？

如图，为了测量建筑物 $AB$ 的高度，在 $D$ 处竖立标杆 $CD$ ，标杆的高是 $2 m$ ，在 $DB$ 上选取观测点 $E$ 、 $F$ ，从 $E$ 测得标杆和建筑物的顶部 $C$ 、 $A$ 的仰角分别为 $58 °$ 、 $45 °$ ．从 $F$ 测得 $C$ 、 $A$ 的仰角分别为 $22 °$ 、 $70 °$ ．求建筑物 $AB$ 的高度（精确到 $0.1 m)$ ．（参考数据： $\tan 22 ° \approx 0.40$ ， $\tan 58 ° \approx 1.60$ ， $\tan 70 ° \approx 2.75$ ． $)$

甲口袋中有2个白球、1个红球，乙口袋中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个口袋中随机摸出1个球．

（1）求摸出的2个球都是白球的概率．

（2）下列事件中，概率最大的是　　．

$A$ ．摸出的2个球颜色相同 $B$ ．摸出的2个球颜色不相同

$C$ ．摸出的2个球中至少有1个红球 $D$ ．摸出的2个球中至少有1个白球

随机抽取某理发店一周的营业额如下表（单位：元） $:$

星期一	星期二	星期三	星期四	星期五	星期六	星期日	合计
540	680	760	640	960	2200	1780	7560

（1）求该店本周的日平均营业额；

（2）如果用该店本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额，你认为是否合理？如果合理，请说明理由；如果不合理，请设计一个方案，并估计该店当月（按30天计算）的营业总额．

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