如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A(2-优题课

如图，在直角坐标系中，四边形 $OABC$ 是平行四边形，经过 $A (- 2, 0)$ ， $B$ ， $C$ 三点的抛物线 $y = a x^{2} + bx + \frac{8}{3} (a < 0)$ 与 $x$ 轴的另一个交点为 $D$ ，其顶点为 $M$ ，对称轴与 $x$ 轴交于点 $E$ ．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）已知 $R$ 是抛物线上的点，使得 $ΔADR$ 的面积是 $▱ OABC$ 的面积的 $\frac{3}{4}$ ，求点 $R$ 的坐标；

（3）已知 $P$ 是抛物线对称轴上的点，满足在直线 $MD$ 上存在唯一的点 $Q$ ，使得 $∠ PQE = 45 °$ ，求点 $P$ 的坐标．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题

如图，若要在宽 $AD$ 为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂 $BC$ 长2米，且与灯柱 $AB$ 成 $120 °$ 角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线 $CO$ 与灯臂 $BC$ 垂直，当灯罩的轴线 $CO$ 通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱 $AB$ 高应该设计为多少米（结果保留根号）？

如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知 $ΔABC$ 三个顶点分别为 $A (- 1, 2)$ 、 $B (2, 1)$ 、 $C (4, 5)$ ．

（1）画出 $ΔABC$ 关于 $x$ 轴对称的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）以原点 $O$ 为位似中心，在 $x$ 轴的上方画出△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ，使△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ 与 $ΔABC$ 位似，且位似比为2，并求出△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ 的面积．

如右图，在 $▱ ABCD$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $AB$ 、 $CD$ 延长线上的点，且 $BE = DF$ ，连接 $EF$ 交 $AD$ 、 $BC$ 于点 $G$ 、 $H$ ．求证： $FG = EH$ ．

今年5月份，我市某中学开展争做“五好小公民”征文比赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划分为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个等级，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：

等级	成绩 $(s)$	频数（人数）
$A$	$90 < s ⩽ 100$	4
$B$	$80 < s ⩽ 90$	$x$
$C$	$70 < s ⩽ 80$	16
$D$	$s ⩽ 70$	6

根据以上信息，解答以下问题：

（1）表中的 $x =$ 　　；

（2）扇形统计图中 $m =$ 　　， $n =$ 　　， $C$ 等级对应的扇形的圆心角为　　度；

（3）该校准备从上述获得 $A$ 等级的四名学生中选取两人做为学校“五好小公民”志愿者，已知这四人中有两名男生（用 $a_{1}$ ， $a_{2}$ 表示）和两名女生（用 $b_{1}$ ， $b_{2}$ 表示），请用列表或画树状图的方法求恰好选取的是 $a_{1}$ 和 $b_{1}$ 的概率．

如图1，抛物线 $C_{1} : y = x^{2} + ax$ 与 $C_{2} : y = - x^{2} + bx$ 相交于点 $O$ 、 $C$ ， $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 分别交 $x$ 轴于点 $B$ 、 $A$ ，且 $B$ 为线段 $AO$ 的中点．

（1）求 $\frac{a}{b}$ 的值；

（2）若 $OC ⊥ AC$ ，求 $ΔOAC$ 的面积；

（3）抛物线 $C_{2}$ 的对称轴为 $l$ ，顶点为 $M$ ，在（2）的条件下：

①点 $P$ 为抛物线 $C_{2}$ 对称轴 $l$ 上一动点，当 $ΔPAC$ 的周长最小时，求点 $P$ 的坐标；

②如图2，点 $E$ 在抛物线 $C_{2}$ 上点 $O$ 与点 $M$ 之间运动，四边形 $OBCE$ 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．