若无穷数列 $\left\{a_n\right\}$满足：只要 $a_p=a_q(p,q\in N^{*})$，必有 $a_{p+1}=a_{q+1}$，则称 $\left\{a_n\right\}$具有性质 $P$．

（1）若 $\left\{a_n\right\}$具有性质 $P$，且 $a_1=1$， $a_2=2$， $a_4=3$， $a_5=2$， $a_6+a_7+a_8=21$，求 $a_3$；

（2）若无穷数列 $\left\{b_n\right\}$是等差数列，无穷数列 $\left\{c_n\right\}$是公比为正数的等比数列， $b_1=c_5=1$； $b_5=c_1=81$， $a_n=b_n+c_n$，判断 $\left\{a_n\right\}$是否具有性质 $P$，并说明理由；

（3）设 $\left\{b_n\right\}$是无穷数列，已知 $a_{n+1}=b_n+\sin a_n(n\in N^{*})$，求证：“对任意 $a_1$， $\left\{a_n\right\}$都具有性质 $P$”的充要条件为“ $\left\{b_n\right\}$是常数列”．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难