解不等式12(x1)⩽3，并在数轴上表示解集．-优题课

如图， $ΔPAB$ 内接于 $⊙ O$ ， $▱ ABCD$ 的边 $AD$ 是 $⊙ O$ 的直径，且 $∠ C = ∠ APB$ ，连接 $BD$ ．

（1）求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）若 $BC = 2$ ， $∠ PBD = 60 °$ ，求 $\hat{AP}$ 与弦 $AP$ 围成的阴影部分的面积．

某校九年级有三个班，其中九年一班和九年二班共有105名学生，在期末体育测试中，这两个班级共有79名学生满分，其中九年一班的满分率为 $70 %$ ，九年二班的满分率为 $80 %$ ．

（1）求九年一班和九年二班各有多少名学生．

（2）该校九年三班有45名学生，若九年级体育成绩的总满分率超过 $75 %$ ，求九年三班至少有多少名学生体育成绩是满分．

随着中央电视台《朗读者》节目的播出，“朗读”为越来越多的同学所喜爱，本溪市某中学计划在全校开展“朗读”活动，为了了解同学们对这项活动的参与态度，随机对部分学生进行了一次调查．调查结果整理后，将这部分同学的态度划分为四个类别： $A$ ．积极参与； $B$ ．一定参与； $C$ ．可以参与； $D$ ．不参与．根据调查结果制作了如下不完整的统计表和统计图．

学生参与“朗读”的态度统计表

类别	人数	所占百分比
$A$	18	$a$
$B$	20	$40 %$
$C$	$m$	$16 %$
$D$	4	$8 %$
合计	$b$	$100 %$

请你根据以上信息，解答下列问题：

（1） $a =$ 　　， $b =$ 　　．

（2）请求出 $m$ 的值并将条形统计图补充完整．

（3）该校有1500名学生，如果“不参与”的人数不超过150人时，“朗读”活动可以顺利开展，通过计算分析这次活动能否顺利开展？

（4）“朗读”活动中，七年一班比较优秀的四名同学恰好是两男两女，从中随机选取两人在班级进行朗读示范，试用画树状图法或列表法求所选两人都是女生的概率．

如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x + 2$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）试探究 $ΔABC$ 的外接圆的圆心位置，求出圆心坐标；

（2）点 $P$ 是抛物线上一点（不与点 $A$ 重合），且 $S_{ΔPBC} = S_{ΔABC}$ ，求 $∠ APB$ 的度数；

（3）在（2）的条件下，点 $E$ 是 $x$ 轴上方抛物线上一点，点 $F$ 是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点 $E$ 和点 $F$ ，使得以点 $B$ 、 $P$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图， $∠ MBN = 90 °$ ，点 $C$ 是 $∠ MBN$ 平分线上的一点，过点 $C$ 分别作 $AC ⊥ BC$ ， $CE ⊥ BN$ ，垂足分别为点 $C$ ， $E$ ， $AC = 4 \sqrt{2}$ ，点 $P$ 为线段 $BE$ 上的一点（点 $P$ 不与点 $B$ 、 $E$ 重合），连接 $CP$ ，以 $CP$ 为直角边，点 $P$ 为直角顶点，作等腰直角三角形 $CPD$ ，点 $D$ 落在 $BC$ 左侧．

（1）求证： $\frac{CP}{CD} = \frac{CE}{CB}$ ；

（2）连接 $BD$ ，请你判断 $AC$ 与 $BD$ 的位置关系，并说明理由；

（3）设 $PE = x$ ， $ΔPBD$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 与 $x$ 之间的函数关系式．