如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内-优题课

如图， $D$ 为圆锥的顶点， $O$ 是圆锥底面的圆心， $△ ABC$ 是底面的内接正三角形， $P$ 为 $DO$ 上一点，∠ APC=90°．

（1）证明：平面 PAB⊥平面 PAC；

（2）设 DO= $\sqrt{2}$ ，圆锥的侧面积为 $\sqrt{3} π$ ，求三棱锥 P− ABC的体积.

科目数学题型解答题难度中等

已知函数 $f (x) = (2 + x + a x^{2}) \ln (1 + x) - 2 x$ ．

（1）若 $a = 0$ ，证明：当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (x) < 0$ ；当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ；

（2）若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极大值点，求 $a$ ．

已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，线段 $AB$ 的中点为 $M (1 ， m) (m > 0)$ ．

（1）证明： $k < - \frac{1}{2}$ ；

（2）设 $F$ 为 $C$ 的右焦点， $P$ 为 $C$ 上一点,且 $\overset{⃑}{FP} + \overset{⃑}{FA} + \overset{⃑}{FB} = 0$ ．证明： $|\overset{⃑}{FA}|$ ， $|\overset{⃑}{FP}|$ ， $|\overset{⃑}{FB}|$ 成等差数列，并求该数列的公差．

如图，边长为2的正方形 $ABCD$ 所在的平面与半圆弧 $\overset{⏜}{CD}$ 所在平面垂直， $M$ 是 $\overset{⏜}{CD}$ 上异于 $C$ ， $D$ 的点．

（1）证明：平面 $AMD ⊥$ 平面 $BMC$ ；

（2）当三棱锥 $M - ABC$ 体积最大时，求面 $MAB$ 与面 $MCD$ 所成二面角的正弦值．

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 $m$ ，并将完成生产任务所需时间超过 $m$ 和不超过 $m$ 的工人数填入下面的列联表：

	超过 $m$	不超过 $m$
第一种生产方式
第二种生产方式

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附： $K^{2} = \frac{n {(ad - bc)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1 ， a_{5} = 4 a_{3}$ ．

（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

（2）记 $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{m} = 63$ ，求 $m$ ．