（本小题12分）第（1）小题5分，第（2）题7分已知中心在原-优题课

题文

（本小题12分）第（1）小题5分，第（2）题7分
已知中心在原点，左焦点为的椭圆C的左顶点为，上顶点为，到直线的距离为．

（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆方程为：（），椭圆方程为：（，且），则称椭圆是椭圆的倍相似椭圆．已知是椭圆C的倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线交椭圆于两点、，试求弦长的取值范围．

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（本小题满分12分）已知函数处的切线恰好为轴。（I）求的值；（II）若区间恒为函数的一个单调区间，求实数的最小值；（III）记（其中），的导函数，则函数是否存在极值点？若存在，请找出极值点并论证是极大值点还是极小值点；若不存在，请说明理由。

对于正整数 $n ⩾ 2$ ，用 $T_{n}$ 表示关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 a x + b = 0$ 有实数根的有序数组 $(a, b)$ 的组数，其中 $a, b \in {1, 2, \dots, n}$ （ $a$ 和 $b$ 可以相等）；对于随机选取的 $a, b \in {1, 2, \dots, n}$ （ $a$ 和 $b$ 可以相等），记 $P_{n}$ 为关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 a x + b = 0$ 有实数根的概率.
（1）求 $T_{n^{2}}$ 和 $P_{n^{2}}$ ；
（2）求证：对任意正整数 $n ⩾ 2$ ，有 $P_{n} > 1 - \frac{1}{\sqrt{n}}$ 。

A．选修4 - 1：几何证明选讲
如图，在四边形 $A B C D$ 中， $△ A B C ~ △ B A D$ .

求证： $A B / / C D$ .
B．选修4 - 2：矩阵与变换
求矩阵 $A = [\begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}]$ 的逆矩阵.
C．选修4 - 4：坐标系与参数方程
已知曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \sqrt{t} - \frac{1}{\sqrt{t}} \\ y = 3 (t + \frac{1}{t}) \end{matrix}$ （ $t$ 为参数， $t > 0$ ），求曲线 $C$ 的普通方程.
D．选修4 - 5：不等式选讲
设 $a \geq b > 0$ ，求证： $3 a^{3} + 2 b^{3} \geq 3 a^{2} b + 2 a b^{2}$ .