某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O在水平线 MN上、桥 AB与 MN平行， $O{O}^{\text{'}}$ 为铅垂线( $O^{\text{'}}$ 在 AB上).经测量，左侧曲线 AO上任一点 D到 MN的距离 $h_1$ (米)与 D到 $O{O}^{\text{'}}$ 的距离 a(米)之间满足关系式 $h_1=\frac{1}{40}{a}^2$ ；右侧曲线 BO上任一点 F到 MN的距离 $h_2$ (米)与 F到 $O{O}^{\text{'}}$ 的距离 b(米)之间满足关系式 $h_2=-\frac{1}{800}{b}^3+6b$ .已知点 B到 $O{O}^{\text{'}}$ 的距离为40米.

（1）求桥 AB的长度；

（2）计划在谷底两侧建造平行于 $O{O}^{\text{'}}$ 的桥墩 CD和 EF，且 CE为80米，其中 C， E在 AB上(不包括端点).桥墩 EF每米造价 k(万元)、桥墩 CD每米造价 $\frac{3}{2}k$ (万元)( k>0).问 $O^{\text{'}}E$ 为多少米时，桥墩 CD与 EF的总造价最低?

科目 数学   题型 解答题   难度 中等