某工厂的某种产品成箱包装，每箱 $200$件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 $20$件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 $p(0<p<1)$，且各件产品是否为不合格品相互独立．

（1）记 $20$件产品中恰有 $2$件不合格品的概率为 $f\left(p\right)$,求 $f\left(p\right)$的最大值点 $p_0$；

（2）现对一箱产品检验了 $20$件，结果恰有 $2$件不合格品，以（1）中确定的 $p_0$作为 $p$的值．已知每件产品的检验费用为 $2$元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 $25$元的赔偿费用．

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 $X$，求 $\mathit{EX}$;

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

科目 数学   题型 解答题   难度 中等