双曲线 $C_1:\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ，圆 $C_2:x^2+y^2=4+b^2(b>0)$ 在第一象限交点为A， $A(x_A,y_A)$ ，曲线 $\Gamma \left\{\begin{array}{c}\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1,\left|x\right|>x_A\\ x^2+y^2=4+b^2,\left|x\right|>x_A\end{array}\right.$ 。

（1）若 $x_A=\sqrt{6}$ ，求b；

（2）若 $b=\sqrt{5}$ ， $C_2$ 与x轴交点记为 $F_1、F_2$ ，P是曲线 $\Gamma$ 上一点，且在第一象限，并满足 $\left|P{F}_1\right|=8$ ，求∠ $F_{1}P{F}_2$ ；

（3）过点 $S(0,2+\frac{b^2}{2})$ 且斜率为 $-\frac{b}{2}$ 的直线 $l$ 交曲线 $\Gamma$ 于M、N两点，用b的代数式表示 $\overrightarrow{\mathit{OM}}\bullet \overrightarrow{\mathit{ON}}$ ，并求出 $\overrightarrow{\mathit{OM}}\bullet \overrightarrow{\mathit{ON}}$ 的取值范围。

科目 数学   题型 解答题   难度 中等