以RtΔABC的两边AB、AC为边，向外作正方形ABDE和正-优题课

以 $Rt Δ A B C$ 的两边 $AB$ 、 $AC$ 为边，向外作正方形 $ABDE$ 和正方形 $ACFG$ ，连接 $EG$ ，过点 $A$ 作 $AM ⊥ BC$ 于 $M$ ，延长 $MA$ 交 $EG$ 于点 $N$ ．

（ 1 ）如图 1 ，若 $∠ BAC = 90 °$ ， $AB = AC$ ，易证： $EN = GN$ ；

（ 2 ）如图 2 ， $∠ BAC = 90 °$ ；如图 3 ， $∠ BAC \neq 90 °$ ，（ 1 ）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

襄阳东站的建成运营标志着我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿 $AC$ 方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点 $E$ 处同时施工．要使 $A$ 、 $C$ 、 $E$ 三点在一条直线上，工程队从 $AC$ 上的一点 $B$ 取 $∠ ABD = 140 °$ ， $BD = 560$ 米， $∠ D = 50 °$ ．那么点 $E$ 与点 $D$ 间的距离是多少米？

（参考数据： $\sin 50 ° \approx 0.77$ ， $\cos 50 ° \approx 0.64$ ， $\tan 50 ° \approx 1.19)$

先化简，再求值： ${(2 x + 3 y)}^{2} - (2 x + y) (2 x - y) - 2 y (3 x + 5 y)$ ，其中 $x = \sqrt{2}$ ， $y = \frac{\sqrt{6}}{2} - 1$ ．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y = - \frac{2}{3} x^{2} + bx + c$ 过点 $B$ 且与直线相交于另一点 $C (\frac{5}{2}$ ， $\frac{3}{4})$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 是抛物线上的一动点，当 $∠ PAO = ∠ BAO$ 时，求点 $P$ 的坐标；

（3）点 $N (n$ ， $0) (0 < n < \frac{5}{2})$ 在 $x$ 轴的正半轴上，点 $M (0, m)$ 是 $y$ 轴正半轴上的一动点，且满足 $∠ MNC = 90 °$ ．

①求 $m$ 与 $n$ 之间的函数关系式；

②当 $m$ 在什么范围时，符合条件的 $N$ 点的个数有2个？

定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．

理解：

（1）若四边形 $ABCD$ 是对余四边形，则 $∠ A$ 与 $∠ C$ 的度数之和为　　；

证明：

（2）如图1， $MN$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在 $⊙ O$ 上， $AM$ ， $CN$ 相交于点 $D$ ．

求证：四边形 $ABCD$ 是对余四边形；

探究：

（3）如图2，在对余四边形 $ABCD$ 中， $AB = BC$ ， $∠ ABC = 60 °$ ，探究线段 $AD$ ， $CD$ 和 $BD$ 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．

5月18日，我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．

（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？

（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩 $m$ 盒 $(m$ 为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含 $m$ 的代数式表示．

（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付 $w$ 元，求 $w$ 关于 $m$ 的函数关系式．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？