已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点．【建立模型】（1）-优题课

已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点．

【建立模型】

（1）如图1，连接BE，DE．求证： $B E ＝ D E$ ；

【模型应用】

（2）如图2，F是DE延长线上一点， $F B ⊥ B E$ ，EF交AB于点G．

①判断△FBG的形状并说明理由；

②若G为AB的中点，且AB＝4，求AF的长．

【模型迁移】

（3）如图3，F是DE延长线上一点， $F B ⊥ B E$ ，EF交AB于点G， $B E ＝ B F$ ．求证： $G E ＝（ \sqrt{2} - 1 ） D E$ ．

科目数学题型解答题难度较难

鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿 $AC$ 方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧 $D (A$ 、 $C$ 、 $D$ 共线）处同时施工．测得 $∠ CAB = 30 °$ ， $AB = 4 km$ ， $∠ ABD = 105 °$ ，求 $BD$ 的长．

争创全国文明城市，从我做起，某学校在七年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校随机抽取30名学生进行测试，成绩如下（单位：分）

78 83 86 86 90 94 97 92 89 86 84 81 81 84 86 88 92 89 86 83 81 81 85 86 89 93 93 89 85 93

整理上面的数据得到频数分布表和频数分布直方图：

成绩（分 $)$	频数
$78 ⩽ x < 82$	5
$82 ⩽ x < 86$	$a$
$86 ⩽ x < 90$	11
$90 ⩽ x < 94$	$b$
$94 ⩽ x < 98$	2

回答下列问题：

（1）以上30个数据中，中位数是　　；频数分布表中 $a =$ 　　； $b =$ 　　；

（2）补全频数分布直方图；

（3）若成绩不低于86分为优秀，估计该校七年级300名学生中，达到优秀等级的人数．

解方程： $\frac{5}{x - 2} = \frac{3}{x}$ ．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 2, 0)$ ，点 $B (4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, 8)$ ，连接 $BC$ ．又已知位于 $y$ 轴右侧且垂直于 $x$ 轴的动直线 $l$ ，沿 $x$ 轴正方向从 $O$ 运动到 $B$ （不含 $O$ 点和 $B$ 点），且分别交抛物线、线段 $BC$ 以及 $x$ 轴于点 $P$ ， $D$ ， $E$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）连接 $AC$ ， $AP$ ，当直线 $l$ 运动时，求使得 $ΔPEA$ 和 $ΔAOC$ 相似的点 $P$ 的坐标；

（3）作 $PF ⊥ BC$ ，垂足为 $F$ ，当直线 $l$ 运动时，求 $Rt Δ PFD$ 面积的最大值．

如图， $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $AB$ 为直径，作 $OD ⊥ AB$ 交 $AC$ 于点 $D$ ，延长 $BC$ ， $OD$ 交于点 $F$ ，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线 $CE$ ，交 $OF$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $EC = ED$ ；

（2）如果 $OA = 4$ ， $EF = 3$ ，求弦 $AC$ 的长．