如图，已知抛物线 $y＝a{x}^2+bx+3（a\ne 0）$与 $x$轴交于 $A（1，0），B（4，0）$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $D$为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的函数表达式及点 $D$的坐标；

（2）若四边形 $BCEF$为矩形， $CE＝3$．点 $M$以每秒 $1$个单位的速度从点 $C$沿 $CE$向点 $E$运动，同时点 $N$以每秒 $2$个单位的速度从点 $E$沿 $EF$向点 $F$运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以 $M、E、N$为顶点的三角形与 $△BOC$相似时，求运动时间 $t$的值；

（3）抛物线的对称轴与 $x$轴交于点 $P$，点 $G$是点 $P$关于点 $D$的对称点，点 $Q$是 $x$轴下方抛物线上的动点．若过点 $Q$的直线 $\mathrm{l}：\mathrm{y}＝\mathrm{kx}+\mathrm{m}（\left|\mathrm{k}\right|\mathrm{＜}\frac{9}{4}）$与抛物线只有一个公共点，且分别与线段 $GA、GB$相交于点 $H、K$，求证： $GH+GK$为定值．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难