如图，已知抛物线y＝ax2bx3（a≠0）与x轴交于A（1，-优题课

如图，已知抛物线 $y ＝ a x^{2} + b x + 3 （ a \neq 0 ）$ 与 $x$ 轴交于 $A （ 1 ， 0 ）， B （ 4 ， 0 ）$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的函数表达式及点 $D$ 的坐标；

（2）若四边形 $B C E F$ 为矩形， $C E ＝ 3$ ．点 $M$ 以每秒 $1$ 个单位的速度从点 $C$ 沿 $C E$ 向点 $E$ 运动，同时点 $N$ 以每秒 $2$ 个单位的速度从点 $E$ 沿 $E F$ 向点 $F$ 运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以 $M 、 E 、 N$ 为顶点的三角形与 $△ B O C$ 相似时，求运动时间 $t$ 的值；

（3）抛物线的对称轴与 $x$ 轴交于点 $P$ ，点 $G$ 是点 $P$ 关于点 $D$ 的对称点，点 $Q$ 是 $x$ 轴下方抛物线上的动点．若过点 $Q$ 的直线 $l ： y ＝ kx + m （ | k | ＜ \frac{9}{4} ）$ 与抛物线只有一个公共点，且分别与线段 $G A 、 G B$ 相交于点 $H 、 K$ ，求证： $G H + G K$ 为定值．

科目数学题型解答题难度较难

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx - 4$ 交 $x$ 轴于 $A (- 1, 0)$ 、 $B (4, 0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点 $P$ 为第四象限内抛物线上一点，连接 $PB$ ，过点 $C$ 作 $CQ / / BP$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，连接 $PQ$ ，求 $ΔPBQ$ 面积的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，将抛物线 $y = a x^{2} + bx - 4$ 向右平移经过点 $(\frac{1}{2}$ ， $0)$ 时，得到新抛物线 $y = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ ，点 $E$ 在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点 $F$ ，使得以 $A$ 、 $P$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的四边形为矩形，若存在，请写出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

参考：若点 $P_{1} (x_{1}$ ， $y_{1})$ 、 $P_{2} (x_{2}$ ， $y_{2})$ ，则线段 $P_{1} P_{2}$ 的中点 $P_{0}$ 的坐标为 $(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ ， $\frac{y_{1} + y_{2}}{2})$ ．

在矩形 $ABCD$ 中， $BC = \sqrt{3} CD$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别是边 $AD$ 、 $BC$ 上的动点，且 $AE = CF$ ，连接 $EF$ ，将矩形 $ABCD$ 沿 $EF$ 折叠，点 $C$ 落在点 $G$ 处，点 $D$ 落在点 $H$ 处．

（1）如图1，当 $EH$ 与线段 $BC$ 交于点 $P$ 时，求证： $PE = PF$ ；

（2）如图2，当点 $P$ 在线段 $CB$ 的延长线上时， $GH$ 交 $AB$ 于点 $M$ ，求证：点 $M$ 在线段 $EF$ 的垂直平分线上；

（3）当 $AB = 5$ 时，在点 $E$ 由点 $A$ 移动到 $AD$ 中点的过程中，计算出点 $G$ 运动的路线长．

如图，在 $⊙ O$ 中， $AB$ 是直径，弦 $CD ⊥ AB$ ，垂足为 $H$ ， $E$ 为 $\hat{BC}$ 上一点， $F$ 为弦 $DC$ 延长线上一点，连接 $FE$ 并延长交直径 $AB$ 的延长线于点 $G$ ，连接 $AE$ 交 $CD$ 于点 $P$ ，若 $FE = FP$ ．

（1）求证： $FE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为8， $\sin F = \frac{3}{5}$ ，求 $BG$ 的长．

2021年5月，菏泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测，随机抽取了部分参加15米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）请把条形统计图补充完整；

（2）合格等级所占百分比为　　 $%$ ；不合格等级所对应的扇形圆心角为　　度；

（3）从所抽取的优秀等级的学生 $A$ 、 $B$ 、 $C \dots$ 中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请根据列表或画树状图的方法，求出恰好抽到 $A$ 、 $B$ 两位同学的概率．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $OABC$ 的两边 $OC$ 、 $OA$ 分别在坐标轴上，且 $OA = 2$ ， $OC = 4$ ，连接 $OB$ ．反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x} (x > 0)$ 的图象经过线段 $OB$ 的中点 $D$ ，并与 $AB$ 、 $BC$ 分别交于点 $E$ 、 $F$ ．一次函数 $y = k_{2} x + b$ 的图象经过 $E$ 、 $F$ 两点．

（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；

（2）点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点，当 $PE + PF$ 的值最小时，点 $P$ 的坐标为　　．