如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，-优题课

如图，在锐角△ABC中， $∠ A ＝ 60 °$ ，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．

（1）如图1，若 $A B ＞ A C$ ，且 $B D ＝ C E$ ， $∠ B C D ＝ ∠ C B E$ ，求 $∠ C F E$ 的度数；

（2）如图2，若 $A B ＝ A C$ ，且 $B D ＝ A E$ ，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）若 $A B ＝ A C$ ，且 $B D ＝ A E$ ，将 $△ A B C$ 沿直线AB翻折至 $△ A B C$ 所在平面内得到 $△ A B P$ ，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将 $△ P H K$ 沿直线HK翻折至 $△ P H K$ 所在平面内得到 $△ Q H K$ ，连接PQ．在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且 $Q K ⊥ P F$ 时，请直接写出 $\frac{PQ}{BC}$ 的值．

科目数学题型解答题难度较难

小云统计了自己所住小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：

$a$ ．小云所住小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量统计图：

$b$ ．小云所住小区 5 月 1 日至 30 日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：

（ 1 ）该小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量的平均数约为（结果取整数）

（ 2 ）已知该小区 4 月的厨余垃圾分出量的平均数为 $60$ ，则该小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量的平均数约为 4 月的倍（结果保留小数点后一位）；

（ 3 ）记该小区 5 月 1 日至 10 日的厨余垃圾分出量的方差为 $s_{1}^{2},$ 5 月 11 日至 20 日的厨余垃圾分出量的方差为 $s_{2}^{2}$ ， 5 月 21 日至 30 日的厨余垃圾分出量的方差为 $s_{3}^{2}$ ．直接写出 $s_{1}^{2}, s_{2}^{2}, s_{3}^{2}$ 的大小关系．

小云在学习过程中遇到一个函数 $y = \frac{1}{6} | x | (x^{2} - x + 1) (x \geq - 2)$ ．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：

（ 1 ）当 $- 2 \leq x < 0$ 时，对于函数 $y_{1} = | x |$ ，即 $y_{1} = - x$ ，当 $- 2 \leq x < 0$ 时， $y_{1}$ 随 $x$ 的增大而，且 $y_{1} > 0$ ；对于函数 $y_{2} = x^{2} - x + 1$ ，当 $- 2 \leq x < 0$ 时， $y_{2}$ 随 $x$ 的增大而，且 $y_{2} > 0$ ；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数 $y$ ，当 $- 2 \leq x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而．

（ 2 ）当 $x \geq 0$ 时，对于函数 $y$ ，当 $x \geq 0$ 时， $y$ 与 $x$ 的几组对应值如下表：

综合上表，进一步探究发现，当 $x \geq 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大．在平面直角坐标系 $xOy$ 中，画出当 $x \geq 0$ 时的函数 $y$ 的图象．

（ 3 ）过点 $(0 ， m)$ （ $m > 0$ ）作平行于 $x$ 轴的直线 $l$ ，结合（ 1 ）（ 2 ）的分析，解决问题：若直线 $l$ 与函数 $y = \frac{1}{6} | x | (x^{2} - x + 1) (x \geq - 2)$ 的图象有两个交点，则 $m$ 的最大值是．

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $BA$ 延长线上一点， $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线， $D$ 为切点， $OF ⊥ AD$ 于点 $E$ ，交 $CD$ 于点 $F$ ．

（ 1 ）求证： $∠ ADC = ∠ AOF$ ；

（ 2 ）若 $\sin C = \frac{1}{3}$ ， $BD = 8$ ，求 $EF$ 的长．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，一次函数 $y = kx + b (k \neq 0)$ 的图象由函数 $y = x$ 的图象平移得到，且经过点 $(1 ， 2)$ ．

（ 1 ）求这个一次函数的解析式；

（ 2 ）当 $x > 1$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y = mx (m \neq 0)$ 的值大于一次函数 $y = kx + b$ 的值，直接写出 $m$ 的取值范围．

如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ， $E$ 是 $AD$ 的中点，点 $F, G$ 在 $AB$ 上， $EF ⊥ AB$ ， $OG ∥ EF$ ．

（1 ）求证：四边形 $OEFG$ 是矩形；

（ 2 ）若 $AD = 10$ ， $EF = 4$ ，求 $OE$ 和 $BG$ 的长．