用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1)．科学原理-优题课

用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图 $1)$ ．

科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为 $H$ （单位： $cm)$ ，如果在离水面竖直距离为 $h$ （单位： $cm)$ 的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离） $s$ （单位： $cm)$ 与 $h$ 的关系式为 $s^{2} = 4 h (H - h)$ ．

应用思考：现用高度为 $20 cm$ 的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离 $hcm$ 处开一个小孔．

（1）写出 $s^{2}$ 与 $h$ 的关系式；并求出当 $h$ 为何值时，射程 $s$ 有最大值，最大射程是多少？

（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为 $a$ ， $b$ ，要使两孔射出水的射程相同，求 $a$ ， $b$ 之间的关系式；

（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加 $16 cm$ ，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的应用

为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元 $/$ 个，乙种型号水杯进价为45元 $/$ 个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况：

时间	销售数量（个 $)$		销售收入（元 $)$ （销售收入 $=$ 售价 $\times$ 销售数量）
时间	甲种型号	乙种型号	销售收入（元 $)$ （销售收入 $=$ 售价 $\times$ 销售数量）
第一月	22	8	1100
第二月	38	24	2460

（1）求甲、乙两种型号水杯的售价；

（2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个，这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下设购进甲种型号水杯 $a$ 个，利润为 $w$ 元，写出 $w$ 与 $a$ 的函数关系式，并求出第三月的最大利润．

遵义市各校都在深入开展劳动教育，某校为了解七年级学生一学期参加课外劳动时间（单位： $h)$ 的情况，从该校七年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．

课外劳动时间频数分布表：

劳动时间分组	频数	频率
$0 ⩽ t < 20$	2	0.1
$20 ⩽ t < 40$	4	$m$
$40 ⩽ t < 60$	6	0.3
$60 ⩽ t < 80$	$a$	0.25
$80 ⩽ t < 100$	3	0.15

解答下列问题：

（1）频数分布表中 $a =$ 　　， $m =$ 　　；将频数分布直方图补充完整；

（2）若七年级共有学生400人，试估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于 $60 h$ 的人数；

（3）已知课外劳动时间在 $60 h ⩽ t < 80 h$ 的男生人数为2人，其余为女生，现从该组中任选2人代表学校参加"全市中学生劳动体验"演讲比赛，请用树状图或列表法求所选学生为1男1女的概率．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上一点， $∠ CAB$ 的平分线 $AD$ 交 $\hat{BC}$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $DE / / BC$ 交 $AC$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）过点 $D$ 作 $DF ⊥ AB$ 于点 $F$ ，连接 $BD$ ．若 $OF = 1$ ， $BF = 2$ ，求 $BD$ 的长度．

某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门 $AD$ 的顶部 $A$ 处距地面高为 $2.2 m$ ，为了解自己的有效测温区间．身高 $1.6 m$ 的小聪做了如下实验：当他在地面 $N$ 处时测温门开始显示额头温度，此时在额头 $B$ 处测得 $A$ 的仰角为 $18 °$ ；在地面 $M$ 处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头 $C$ 处测得 $A$ 的仰角为 $60 °$ ．求小聪在地面的有效测温区间 $MN$ 的长度．（额头到地面的距离以身高计，计算精确到 $0.1 m$ ， $\sin 18 ° \approx 0.31$ ， $\cos 18 ° \approx 0.95$ ， $\tan 18 ° \approx 0.32)$

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + 6$ 经过两点 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ， $C$ 是抛物线与 $y$ 轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P (m, n)$ 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设 $ΔPBC$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 关于 $m$ 的函数表达式（指出自变量 $m$ 的取值范围）和 $S$ 的最大值；

（3）点 $M$ 在抛物线上运动，点 $N$ 在 $y$ 轴上运动，是否存在点 $M$ 、点 $N$ 使得 $∠ CMN = 90 °$ ，且 $ΔCMN$ 与 $ΔOBC$ 相似，如果存在，请求出点 $M$ 和点 $N$ 的坐标．