设数列
，
满足
，
，且
，
（1）求数列的通项公式；（2）对一切，证明
成立；
（3）记数列
，的前
项和分别是
，证明
。
已知抛物线
．
(1)若圆心在抛物线上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线
相切，求所有的圆都经过的定点坐标；
(2)抛物线的焦点为
,若过点的直线与抛物线相交于
两点,若
,求直线
的斜率；
(3)若过
正半轴上
点的直线与该抛物线交于两点,
为抛物线上异于的任意一点,记
连线的斜率为
试求满足
成等差数列的充要条件．
某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．
（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；
（2）记
为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布律和数学期望．
对于函数
，若在定义域存在实数
，满足
，则称为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数
，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（2）设
是定义在
上的“局部奇函数”，求实数
的取值范围．
如图,设
是一个高为
的四棱锥,底面
是边长为
的正方形,顶点
在底面上的射影是正方形的中心．
是棱
的中点．试求直线
与平面
所成角的大小．
如图；已知椭圆C:
的离心率为
，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:
设圆T与椭圆C交于点M、N.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求
的最小值，并求此时圆T的方程;
（3）设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点，且直线MP,NP分别与
轴交于点R，S，O为坐标原点。求证：
为定值.