右面的图形无限向内延续，最外面的正方形的边长等1。从外到内，-优题课

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题文

右面的图形无限向内延续，最外面的正方形的边长等1。从外到内，第i个正方形与内切圆之间的深灰色图形面积记为S_i（i="1," 2, …）。

分别求S₁，S₂，S_k；
求深灰色图形的面积的总和。

科目数学题型解答题难度容易

知识点：等比数列

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A．选修4-1　几何证明选讲

如图，设 $△ A B C$ 的外接圆的切线 $A E$ 与 $B C$ 的延长线交于点 $E$ ， $∠ B A C$ 的平分线与 $B C$ 交于点 $D$ .求证： $E D^{2} = E B \cdot E C$ .

B．选修4-2　矩阵与变换

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设椭圆 $4 x^{2} + y^{2} = 1$ 在矩阵对应的变换作用下得到曲线 $F$ ，求 $F$ 的方程.

C．选修4-4　参数方程与极坐标

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P (x, y)$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 上的一个动点，求 $S = x + y$ 的最大值.

D．选修4-5　不等式证明选讲

设 $a, b, c$ 为正实数，求证： $\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} + a b c \geq 2 \sqrt{3}$ .

若 $f_{1} (x) = 3^{|x - p_{1}|}, f_{2} (x) = 3^{|x - p_{2}|}, x \in R, p_{1}, p_{2}$ 为常数，且 $f (x) = {\begin{matrix} f_{1} (x), f_{1} (x) \leq f_{2} (x) \\ f_{2} (x), f_{1} (x) > f_{2} (x) \end{matrix}$ .
（Ⅰ）求 $f (x) = f_{1} (x)$ 对所有的实数 $x$ 成立的充要条件（用 $p_{1}, p_{2}$ 表示）；
（Ⅱ）设 $a, b$ 为两实数， $a < b$ 且 $p_{1}, p_{2} \in (a, b)$ ，若 $f (a) = f (b)$ ，求证： $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的单调增区间的长度和为 $\frac{b - a}{2}$ （闭区间 $[m, n]$ 的长度定义为 $n - m$ ）.

（I）设 $a_{1}, a_{2}, \dots a_{n}$ 是各项均不为零的等差数列 $(n \geq 4)$ ，且公差 $d \neq 0$ ，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
①当 $n = 4$ 时，求 $\frac{a_{1}}{d}$ 的数值；②求 $n$ 的所有可能值；
（II）求证：对于一个给定的正整数 $(n \geq 4)$ ，存在一个各项及公差都不为零的等差数列 $b_{1}, b_{2} \dots \dots b_{n}$ ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。

设平面直角坐标系 $x o y$ 中，设二次函数 $f (x) = x^{2} + 2 x + b (x \in R)$ 的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 $C$ 。
（1）求实数 $b$ 的取值范围；
（2）求圆 $C$ 的方程；
（3）问圆 $C$ 是否经过某定点（其坐标与 $b$ 无关）？请证明你的结论。

某地有三家工厂，分别位于矩形 $A B C D$ 的顶点 $A, B$ ，及 $C D$ 的中点 $P$ 处，已知 $A B = 20$ $k m$ , $C D = 10 k m$ ,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 $A B C D$ 的区域上（含边界），且 $A, B$ 等距离的一点 $O$ 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 $A O, B O, O P$ ，设排污管道的总长为 $y k m$ 。
（I）按下列要求写出函数关系式：
①设 $∠ B A O = θ (r a d)$ ，将 $y$ 表示成 $θ$ 的函数关系式；
②设 $O P = x (k m)$ ，将 $y$ 表示成 $x$ 的函数关系式。
（Ⅱ）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。

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