若 $f_1\left(x\right)=3^{\left|x-p_1\right|},f_2\left(x\right)=3^{\left|x-p_2\right|},x\in R,p_1,p_2$为常数，且 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}{f}_1\left(x\right),f_1\left(x\right)\le f_2\left(x\right)\\ f_2\left(x\right),f_1\left(x\right)>f_2\left(x\right)\end{array}$.
（Ⅰ）求 $f\left(x\right)=f_1\left(x\right)$对所有的实数 $x$成立的充要条件（用 $p_1,p_2$表示）；
（Ⅱ）设 $a,b$为两实数， $a<b$且 $p_1,p_2\in (a,b)$，若 $f\left(a\right)=f\left(b\right)$，求证： $f\left(x\right)$在区间 $[a,b]$上的单调增区间的长度和为 $\frac{b-a}{2}$（闭区间 $[m,n]$的长度定义为 $n-m$）.

科目 数学   题型 解答题   难度 中等