已知双曲线的方程为
, 直线
通过其右焦点F2，且与双曲线的右支交于A、B两点，将A、B与双曲线的左焦点F1连结起来，求|F1A|·|F1B|的最小值
（本小题满分12分）已知数列
（1）求证数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；
（2）令
， 求数列
的前
项和
.
（本小题满分14分）已知函数
，
（Ⅰ）求
的最小值；
（Ⅱ）讨论函数
的单调性；
（Ⅲ）是否存在常数
，使
恒成立，若存在，求出的最大值，若不存在，说明理由.
（本小题满分12分）经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴. 为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销. 经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足
（其中
，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本
万元（不含促销费用），产品的销售价格定为
元／件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．
（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
（本小题满分12分）已知椭圆E的方程：
（
），它的两个焦点为
，P为椭圆的一点（点
在第三象限上）, 且
的周长为
，
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若以点P为圆心的圆过椭圆的左顶点M与点
， MP交圆P与另一点N,若点A在椭圆E上，使得
，求点A的坐标.
（本小题满分12分）已知等差数列
的前
项和为
，且
，
.
（Ⅰ）求
及
；
（Ⅱ）若数列
的前项和
，试求并证明不等式
成立.