对定义在
上，并且同时满足以下两个条件的函数
称为
函数。
① 对任意的
，总有
；
② 当
时，总有
成立。
已知函数
与
是定义在上的函数。
（1）试问函数
是否为
函数？并说明理由；
（2）若函数
是函数，求实数
组成的集合；
（3）在（2）的条件下，讨论方程
解的个数情况。
（本小题满分12分）已知函数
的最小正周期为
．
（1）求
的单调递增区间；
（2）在
中，角
，
，
的对边长分别是
，
，
满足
，求函数
的取值范围．
若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列．已知数列
是调和数列，对于各项都是正数的数列
，满足
．
（Ⅰ）证明数列是等比数列；
（Ⅱ）把数列中所有项按如图所示的规律排成一个三角形
数表，当
时，求第
行各数的和；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列，证明：
．
（本小题满分13分）
已知中心在原点，焦点在
轴上的椭圆
的离心率为
，且经过点
，过点
的直线
与椭圆在第一象限相切于点
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）求直线的方程以及点的坐标；
（Ⅲ）是否存在过点
的直线
与椭圆相交于不同的两点
，满足
？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．
（本小题满分13分）
已知函数
，
．
（Ⅰ）求函数
的导函数
；
（Ⅱ）当
时，若函数是
上的增函数，求
的最小值；
（Ⅲ）当
，
时，函数在
上存在单调递增区间，求
的取值范围．
（本小题满分14分）
如图，在三棱柱
中，每个侧面均为正方形，
为底边
的中点，
为侧棱
的中点.
（Ⅰ）求证：
∥平面
；
（Ⅱ）求证：
平面；
（Ⅲ）求直线
与平面
所成角的正弦值. 