在R上可导的函数f(x)x3ax22bxc,当x∈(0,1)-优题课

题文

在R上可导的函数f(x)=x³+ax²+2bx+c,当x∈(0,1)时取得极大值,当x∈(1,2)时取得极小值,求点(a,b)对应的区域的面积以及的取值范围.

科目数学题型解答题难度中等

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已知动点 $P$ ， $Q$ 都在曲线C： $\{\begin{cases} x = 2 \cos t \\ y = 2 \sin t \end{cases}$ （ $t$ 为参数）上，对应参数分别为 $t = a$ 与 $t = 2 a$ （ $0 < a < 2 π$ ）， $M$ 为 $P Q$ 的中点。

（Ⅰ）求 $M$ 的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将 $M$ 到坐标原点的距离 $d$ 表示为 $a$ 的函数，并判断 $M$ 的轨迹是否过坐标原点。

如图, $C D$ 为 $∆ A B C$ 外接圆的切线, $A B$ 的延长线交直线 $C D$ 于点 $D$ , $E, F$ 分别为弦 $A B$ 与弦 $A C$ 上的点,且 $B C \cdot A E = D C \cdot A F, B, E, F, C$ 四点共圆.

证明：

（Ⅰ） $C A$ 是 $∆ A B C$ 外接圆的直径;
（Ⅱ）若 $D B = B E = E A$ .求过 $B, E, F, C$ 四点的圆的面积与 $∆ A B C$ 外接圆面积的比值.

己知函数 $f (x) = x^{2} e^{- x}$ .
(I)求 $f (x)$ 的极小值和极大值；
(II)当曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l$ 的斜率为负数时，求 $l$ 在 $x$ 轴上截距的取值范围.

在平面直角坐标系 $x o y$ 中，己知圆 $P$ 在 $x$ 上截得线段长为 $2 \sqrt{2}$ ，在 $y$ 轴上截得线段长为 $2 \sqrt{3}$ .
（Ⅰ）求圆心 $P$ 的轨迹方程;
（Ⅱ）若 $P$ 点到直线 $y = x$ 的距离为，求圆 $P$ 的方程.

经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 $t$ 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 $t$ 亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直图，如下图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 $t$ 该农产品.以（单位： $t$ ，100≤ $x$ ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量， $T$ (单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

（Ⅰ）将 $T$ 表示为 $x$ 的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润 $T$ 不少于57000元的概率.

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