（本小题满分14分）已知椭圆
以
为焦点，且离心率
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过
点斜率为
的直线
与椭圆有两个不同交点
，求的范围。
（Ⅲ）设椭圆与
轴正半轴、
轴正半轴的交点分别为
，是否存在直线，满足（Ⅱ）中的条件且使得向量
与
垂直？如果存在，写出的方程；如果不存在，请说明理由。
(本小题满分9分)
已知余弦函数是偶函数，且满足
.若
上的函数
满足
,则函数是偶函数吗？试证明你的结论.
(本小题满分8分)已知
(1)当
时，求
；
(2) 若
，求实数
的取值范围.
（本小题10分）已知函数
．
（1）试讨论
的单调性；
（2）如果当
时，
，求实数
的取值范围；
（3）记函数
，若
在区间
上不单调, 求实数的取值范围．
（本小题8分）自主招生是高校在高考前争抢优等生的一项重要举措，不少同学也把自主招生当作高考前的一次锻炼．据参加自主招生的某同学说，某高校2012自主招生选拔考试分为初试和面试两个阶段，参加面试的考生按照抽签方式决定出场顺序．通过初试，选拔出甲、乙等五名考生参加面试．
（1）求面试中甲、乙两名考生恰好排在前两位的概率；
（2）若面试中甲和乙之间间隔的考生数记为
，求的分布列和数学期望．
（本小题8分）已知数列
中，
，且
．
（1）求
，
，
的值；
（2）写出数列的通项公式，并用数学归纳法证明．