已知正方形ABCD和正方形ABEF所在的平面相交于AB，点M-优题课

已知正方形ABCD和正方形ABEF所在的平面相交于AB，点M，N分别在AC和BF上，且AM=FN.
求证：MN‖平面BCE.

科目数学题型解答题难度较易

知识点：平行线法

如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 直径，直线 $C D$ 与 $⊙ O$ 相切于 $E$ . $A D$ 垂直于 $C D$ 于 $D$ , $B C$ 垂直于 $C D$ 于 $C$ , $E F$ 垂直于 $F$ 连接 $A E, B E$ 证明：

（1） $∠ F E B = ∠ C E B$ ;

（2） $E F^{2} = A D \cdot B C$ .

已知函数 $f (x) = (1 + x) e^{- 2 x}$ , $g (x) = a x + \frac{x^{3}}{2} + 1 + 2 x \cos x$ .当 $x \in [0, 1]$ 时，

（I）求证  $1 - x \leq f (x) \leq \frac{1}{1 + x}$ ;

（II）若 $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

如图，抛物线 $C_{1} : x^{2} = 4 y, C_{2} : x^{2} = - 2 p y (p > 0)$ ，点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在抛物线 $C_{2}$ 上，过 $M$ 作 $C_{1}$ 的切线,切点为 $A, B$ ( $M$ 为原点 $O$ 时, $A, B$ 重合于 $O$ ).当 $x_{0} = 1 - \sqrt{2}$ 时，切线 $M A$ 的斜率为 $- \frac{1}{2}$ .

（I）求 $p$ 的值；
（II）当 $M$ 在 $C_{2}$ 上运动时，求线段 $A B$ 中点 $N$ 的轨迹方程（ $A, B$ 重合于 $O$ 时，中点为 $O$ ）.

现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.
（I）求张同学至少取到1道乙类题的概率；
（II）已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是 $\frac{3}{5}$ ,答对每道乙类题的概率都是 $\frac{4}{5}$ ,且各题答对与否相互独立.用 $X$ 表示张同学答对题的个数,求 $X$ 的分布列和数学期望.

如图， $A B$ 是圆的直径， $P A$ 垂直圆所在的平面， $C$ 是圆上的点.

（I）求证平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C$ ;
（II）若 $A B = 2, A C = 1, P A = 1$ ，求证:二面角 $C - P B - A$ 的余弦值.

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