甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数，，及任意的，当-优题课

题文

甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数，，及任意的，当甲公司投入万元作宣传时，乙公司投入的宣传费若小于万元，则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险；当乙公司投入万元作宣传时，甲公司投入的宣传费若小于万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危险. 设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，建立如图直角坐标系，试回答以下问题：
(1)请解释；
(2)甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时各应投入多少宣传费？
(3)若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少投入费用原则，投入自己的宣传费：若甲先投入万元，乙在上述策略下，投入最少费用；而甲根据乙的情况，调整宣传费为；同样，乙再根据甲的情况，调整宣传费为如此得当甲调整宣传费为时，乙调整宣传费为；试问是否存在，的值，若存在写出此极限值（不必证明），若不存在，说明理由.

科目数学题型解答题难度较难

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如图：已知圆上的弧 $\bar{A C} = \bar{B D}$ ，过 $C$ 点的圆的切线与 $B A$ 的延长线交于 $E$ 点，证明：

（Ⅰ） $∠ A C E = ∠ B C D$ .
（Ⅱ） $B C^{2} = B E \cdot C D$ .

设函数 $f (x) = x (e^{x} - 1) - a x^{2}$

（Ⅰ）若 $a = \frac{1}{2}$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）若当 $x \geq 0$ 时 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围

设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $E : x^{2} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 1)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $|A F_{1}|, |A B|, |B F_{2}|$ 成等差数列.

（Ⅰ）求 $|A B|$ .

（Ⅱ）若直线 $l$ 的斜率为1，求 $b$ 的值.

为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：

（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；
（Ⅱ）能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。
附：

如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为等腰梯形， $A B$ $∥$ $C D$ , $A C ⊥ B D$ ,垂足为 $H$ ， $P H$ 是四棱锥的高。

（Ⅰ）证明：平面 $P A C$ $⊥$ 平面 $P B D$ ;
（Ⅱ）若 $A B = \sqrt{6}$ , $∠ A P B = ∠ A D B =$ 60°,求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积。

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