已知x，y均为正数，且x＞y，求证：．-优题课

已知函数 $f (x) = (2 \cos^{2} x - 1) \sin 2 x + \frac{1}{2} \cos 4 x$
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期及最大值；
（Ⅱ）若 $a \in (\frac{π}{2}, π)$ ，且 $f (a) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $a$ 的值.

已知函数 $f (x) = x - 1 + \frac{a}{e^{x}}$ （ $a \in R, e$ 为自然对数的底数）
（Ⅰ）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (x))$ 处的切线平行于 $x$ 轴,求 $a$ 的值；
（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 的极值；
（Ⅲ）当 $a = 1$ 时,若直线 $l : y = k x - 1$ 与曲线 $y = f (x)$ 没有公共点,求 $k$ 的最大值.

如图，在等腰直角 $△ O P Q$ 中， $∠ P O Q = 90^{°}$ ， $O P = 2 \sqrt{2}$ ，点 $M$ 在线段 $P Q$ 上.

(Ⅰ) 若 $O M = \sqrt{5}$ ，求 $P M$ 的长；
（Ⅱ）若点 $N$ 在线段 $M Q$ 上，且 $∠ M O N = 30^{°}$ ，问：当 $∠ P O M$ 取何值时， $△ O M N$ 的面积最小？并求出面积的最小值.

如图，抛物线 $E : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $A$ .点 $C$ 在抛物线 $E$ 上，以 $C$ 为圆心， $|C O|$ 为半径作圆，设圆 $C$ 与准线 $l$ 交于不同的两点 $M$ ， $N$ .

（I）若点 $C$ 的纵坐标为2，求 $|M N|$ ；
（II）若 ${|A F|}^{2} = |A M| \cdot |A N|$ ，求圆 $C$ 的半径.

某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在"25周岁以上（含25周岁）"和"25周岁以下"分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组： $[50, 60)$ , $[60, 70)$ , $[70, 80)$ , $[80, 90)$ , $[90, 100)$ ,分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

（I）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名"25周岁以下组"工人的概率；
（II）规定日平均生产件数不少于80件者为"生产能手"，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为"生产能手与工人所在的年龄组有关"？

附： $x^{2} = \frac{n (n_{11} n_{22} - n_{12} n_{21})^{2}}{n_{1 +} n_{2 +} n_{+ 1} n_{+ 2}}$ (注：此公式也可以写成 $k^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ）

$P (x^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.010	0.001
$k$	2.706	3.841	6.635	10.828