某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．
（I）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；
（II）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X(元)．
求随机变量X的分布列和数学期望。
（本小题满分12分）在
中，顶点
，
，
、
分别是的重心和内心，且
．
求顶点
的轨迹
的方程；
过点
的直线交曲线于
、
两点，
是直线
上一点，设直线
、
、
的斜率分别为
，
，
，试比较
与
的大小，并加以证明．
（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，四边形满足
，
且
，点
为
中点，点
为
边上的动点，且
．
求证：平面
平面
；
是否存在实数
，使得二面角
的余弦值为
？若存在，试求出实数的值；若不存在，说明理由．
（本小题满分12分）根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如下图显示．
已知
、
、
三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求
，
的值；
该电子商务平台将年龄在
之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和
的分布列与数学期望．
（本小题满分12分）在
中，
，
．
求角
的值；
设
，求
．
（本小题满分14分）
已知函数
（其中
，e是自然对数的底数，e＝2.71828…）．
(Ⅰ)当
时，求函数
的极值；
(Ⅱ)若
恒成立，求实数a的取值范围；
(Ⅲ)求证：对任意正整数n，都有
．