设数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $a_1=a,a_{n-1}=c{a}_n+1-c,c\in N^{*}$其中 $a,c$为实数， $c\ne 0$

（Ⅰ）求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式
（Ⅱ）设 $a=\frac{1}{2},c=\frac{1}{2},b_n=n(1-a_n),n\in N^{*}$,求数列 $\left\{b_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n$；
（Ⅲ）若 $0<a_n<1$对任意 $n\in N^{*}$成立，证明 $0<c\le 1$

科目 数学   题型 解答题   难度 容易