设椭圆
其相应于焦点
的准线方程为
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)已知过点
倾斜角为
的直线交椭圆
于
两点,求证:
;
(Ⅲ)过点
作两条互相垂直的直线分别交椭圆
于
和
,求
的最小值
已知函数,其中
为实常数.
(1)当时,求不等式
的解集;
(2)当变化时,讨论关于
的不等式
的解集.
如图,A、C两岛之间有一片暗礁,一艘小船于某日上午8时从A岛出发,以10
海里/小时的速度,沿北偏东75°方向直线航行,下午1时到达B处.然后以同样的速度,
沿北偏东15°方向直线航行,下午4时到达C岛.
(1)求A、C两岛之间的直线距离;
(2)求∠BAC的正弦值.
(本小题满分14分)
某光学仪器厂有一条价值为万元的激光器生产线,计划通过技术改造来提高该生产线的生产能力,提高产品的增加值. 经过市场调查,产品的增加值
万元与技术改造投入
万元之间满足:①
与
成正比;②当
时,
,并且技术改造投入满足
,其中
为常数且
.
(I)求表达式及定义域;
(II)求技术改造之后,产品增加值的最大值及相应的值.
(本小题满分12分)
某玩具厂计划每天生产A、B、C三种玩具共100个. 已知生产一个玩具A需5分钟,生产一个玩具B需7分钟,生产一个玩具C需4分钟,而且总生产时间不超过10个小时. 若每生产一个玩具A、B、C可获得的利润分别为5元、6元、3元.
(I)用每天生产的玩具A的个数与玩具B的个数
表示每天的利润
元;
(II)请你为玩具厂制定合理的生产任务分配计划,使每天的利润最大,并求最大利润.
(本小题满分12分)已知,证明:
.