已知函数 $f\left(x\right)$在 $R$上有定义，对任何实数 $a>0$和任何实数 $x$，都有 $f\left(ax\right)=af\left(x\right)$

（Ⅰ）证明 $f\left(0\right)=0$；

（Ⅱ）证明 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}kx,x\ge 0\\ hx,x<0\end{array}\right.$,其中 $k$和 $h$均为常数；
（Ⅲ）当（Ⅱ）中的 $k>0$时，设 $g\left(x\right)=\frac{1}{f\left(x\right)}+f\left(x\right)\left(x>0\right)$，讨论 $g\left(x\right)$在 $\left(0,+\infty \right)$内的单调性并求极值.

科目 数学   题型 解答题   难度 中等