游客
题文

四棱锥的底面是正方形,侧棱⊥底面的中点.
(1)证明//平面;                          
(2)求二面角的平面角的余弦值;
(3)在棱上是否存在点,使⊥平面
若存在,请求出点的位置;若不存在,请说明理由.

科目 数学   题型 解答题   难度 较易
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等差数列的前项和为,已知.
(1)求通项公式
(2)若.

已知函数 f x = x 2 + 2 x + a , x < 0 ln x , x > 0 ,其中 a 是实数,设 A x 1 , f x 1 B x 2 , f x 2 为该函数图象上的点,且 x 1 < x 2
(I)指出函数 f x 的单调区间;
(II)若函数 f x 的图象在点 A , B 处的切线互相垂直,且 x 2 < 0 ,求 x 2 - x 1 的最小值;
(III)若函数 f x 的图象在点 A , B 处的切线重合,求 a 取值范围.

已知椭圆 C : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 )的两个焦点分别为 F 1 ( - 1 , 0 ) F 2 ( 1 , 0 ) ,且椭圆 C 经过点 P ( 4 3 , 1 3 )
(I)求椭圆 C 的离心率:
(II)设过点 A ( 0 , 2 ) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点,点 Q 是线段 M N 上的点,且 2 | A Q | 2 = 1 | A M | 2 + 1 | A N | 2 ,求点 Q 的轨迹方程.

如图,在三棱柱 A B C - A 1 B 1 C 1 中,侧棱 A A 1 底面 A B C A B = A C = 2 A A 1 B A C = 120°, D , D 1 分别是线段 B C , B 1 C 1 的中点, P 是线段 A D 的中点.
image.png

(I)在平面 A B C 内,试做出过点 P 与平面 A 1 B C 平行的直线 l ,说明理由,并证明直线 l 平面 A D D 1 A 1
(II)设(I)中的直线 l A B 于点 M ,交 A C 于点 N ,求二面角 A - A 1 M - N 的余弦值.

某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量 x 在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生

image.png

(I)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 p i ( i = 1 , 2 , 3 )
(II)甲乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编程写出程序重复运行 n 次后,统计记录输出y的值为 i ( i = 1 , 2 , 3 的频数,以下是甲乙所作频数统计表的部分数据.
甲的频数统计图(部分)

运行次数 n 输出 y 的值为1的频数
输出 y 的值为2的频数
输出 y 的值为3的频数
30
14
6
10




2100
1027
376
697

乙的频数统计图(部分)

运行次数 n 输出 y 的值为1的频数
输出y的值为2的频数
输出 y 的值为3的频数
30
12
11
7




2100
1051
696
353

n = 2100 时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为 i ( i = 1 , 2 , 3 的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大;
(III)将按程序摆图正确编写的程序运行3次,求输出 y 的值为2的次数 ξ 的分布列及数学期望.

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