已知抛物线的焦点为F，以点为圆心，|AF|为半径的圆在x轴的-优题课

已知抛物线的焦点为F，以点为圆心，|AF|为半径的圆在x轴的上方与抛物线交于M、N两点。
（I）求证：点A在以M、N为焦点，且过点F的椭圆上；
（II）设点P为MN的中点，是否存在这样的a，使得|FP|是|FM|与|FN|的等差中项？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。

科目数学题型解答题难度容易

知识点：参数方程

已知 $a$ 是给定的实常数，设函数 $f (x) = {(x - a)}^{2} (x + b) e^{2}$ , $b \in R$ , $x = a$ 是 $f (x)$ 的一个极大值点．
(Ⅰ)求 $b$ 的取值范围；
(Ⅱ)设 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是 $f (x)$ 的3个极值点，问是否存在实数 $b$ ，可找到 $x_{4} \in R$ ，使得 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的某种排列 $x_{i 1}, x_{i 2}, x_{i 3}, x_{i 4}$ (其中 $\{i_{1}, i_{2}, i_{3}, i_{4}\} = \{1, 2, 3, 4\}$ )依次成等差数列?若存在，求所有的 $b$ 及相应的 $x_{4}$ ；若不存在，说明理由．

已知 $m > 1$ ，直线 $l : x - m y - \frac{m^{2}}{2} = 0$ ，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{m^{2}} + y^{2} = 1$ ， $F_{1} F_{2}$ 分别为椭圆 $C$ 的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线 $l$ 过右焦点 $F_{2}$ 时，求直线 $l$ 的方程；
（Ⅱ）设直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点， $△ A F_{1} F_{2}$ ， $△ B F_{1} F_{2}$ 的重心分别为 $G, H$ .若原点 $O$ 在以线段 $G H$ 为直径的圆内，求实数 $m$ 的取值范围.

如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E, F$ 分别在线段 $A B, A D$ 上， $A E = E B = A F = \frac{2}{3} F D = 4$ .沿直线 $E F$ 将 $△ A E F$ 翻折成 $△ A ` E F$ ，使平面 $A^{,} E F$ $⊥ 平面 B E F$ .

（Ⅰ）求二面角 $A - F D - C$ 的余弦值；
（Ⅱ）点 $M, N$ 分别在线段 $F D, B C$ 上，若沿直线 $M N$ 将四边形 $M N C D$ 向上翻折，使 $C$ 与 $A$ 重合，求线段 $F M$ 的长.

如图，一个小球从 $M$ 处投入，通过管道自上而下落 $A$ 或 $B$ 或 $C$ 。已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到 $A$ ， $B$ ， $C$ ，则分别设为l，2，3等奖．

（I）已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50％，70％，90％．记随变量 $ξ$ 为获得 $k$ ( $k = 1, 2, 3$ )等奖的折扣率，求随机变量 $ξ$ 的分布列及期望 $E ξ$ ；
(II)若有3人次(投入l球为l人次)参加促销活动，记随机变量 $η$ 为获得1等奖或2等奖的人次，求 $P (η = 2)$ ．

在 $△ A B C$ 中,角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\cos 2 C = - \frac{1}{4}$ .

(I)求 $\sin C$ 的值；
(Ⅱ)当 $a = 2, 2 \sin A = \sin C$ 时，求 $b$ 及 $c$ 的长．

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