．已知
为常数，
，函数
，
且方程
有等根.
（1）求
的解析式及值域；
（2）设集合
，
，若
，求实数
的取值范围；
（3）是否存在实数
，使
的定义域和值域分别为
和
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
已知椭圆
的离心率为
，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且
其中O为坐标原点。
（I）求椭圆C的方程；
（II）如图，过点S（0，
}，且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分五组，得到频率分布表如下表所示。
（1）请求出①②位置相应的数字，填在答题卡相应位置上，并补全频率分布直方图；
（2）为了能选出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12人进入第二轮面试，求第3、4、5组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试；假定考生“XXX”笔试成绩为178分，但不幸没入选这100人中，那这样的筛选方法对该生而言公平吗？为什么？
（3）在（2）的前提下，学校决定在12人中随机抽取3人接受“王教授”的面试，设第4组中被抽取参加“王教授”面试的人数为
，求的分布列和数学期望．
己知函数
（1）求函数
的最小正周期。
（2）记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若，
、b=1、c=
，求a的值．
第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分.
如果存在常数
使得数列
满足：若
是数列中的一项，则
也是数列中的一项，称数列为“兑换数列”，常数是它的“兑换系数”.
（1）若数列：
是“兑换系数”为的“兑换数列”，求
和的值；
（2）已知有穷等差数列
的项数是
，所有项之和是
，求证：数列是“兑换数列”，并用
和表示它的“兑换系数”；
（3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列
，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论并说明理由.
第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.
已知点
为双曲线
的左、右焦点，过
作垂直于
轴的直线，在轴上方交双曲线于点
，且
，圆
的方程为
.
（1）求双曲线
的方程；
（2）过圆上任意一点
作切线
交双曲线于
两个不同点，
中点为，
求证：
；
（3）过双曲线上一点
作两条渐近线的垂线，垂足分别是
和
，求
的值