已知函数。(1)求函数
的单调区间和值域;
(2)设,函数
,若对于任意
总存在
,使得
成立,求实数
的取值范围。
如图,在直三棱柱中,
⊥
,
,
,
,
是
的中点,求直线
与平面
所成角的正弦值.
已知函数.
(1)求的解析式;
(2)求的减区间.
设函数,
表示
的导函数.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)当为偶数时,若函数
的图象恒在函数
的上方,求实数
的取值范围;
(3)当为奇数时,设
,数列
的前
项和为
,证明不等式
对一切正整数
均成立,并比较
与
的大小.
已知椭圆的方程为
,两点
,
为椭圆
的焦点,点
在椭圆
上,且
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)如图已知椭圆的内接平行四边形
的一组对边分别过椭圆的焦点
、
,求该平行四边形
面积的最大值.
为治理雾霾,环保部门加大对企业污染物排放的监管力度,某企业决定对一条价值60万元的老旧流水线进行升级改造,既要减少染污的排放,更要提高该流水线的生产能力,从而提高产品附加值,预测产品附加值(单位:万元)与投入改造资金
(单位:万元)之间的关系满足:
①与
成正比例;
②当时,
;
③改造资金满足不等式
,其中
为常数,且
.
(1)求函数的解析式,并求出其定义域;
(2)问投入改造资金取何值时,产品附加值
达到最大?