(本小题满分12分)如图所示,为半圆,AB为半圆直径,O为半圆圆心,且OD⊥AB,Q为线段OD的中点,已知|AB|=4,曲线C过Q点,动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(Ⅱ)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N,问是否存在这样的直线使
与
平行,若平行,求出直线
的方程, 若不平行,请说明理由.
已知函数的图象过原点,且
在
、
处取得极值.
(Ⅰ)求函数的单调区间及极值;
(Ⅱ)若函数与
的图象有且仅有一个公共点,求实数
的取值范围.
(本小题满分12分)已知抛物线的准线方程
,
与直线
在第一象限相交于点
,过
作
的切线
,过
作
的垂线
交x轴正半轴于点
,过
作
的平行线
交抛物线
于第一象限内的点
,过
作抛物线
的切线
,过
作
的垂线
交x轴正半轴于点
,…,依此类推,在x轴上形成一点列
,
,
,…,
,设点
的坐标为
(Ⅰ)试探求关于
的递推关系式;
(Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)求证:.
(本小题满分12分)设圆过点P(0,2), 且在
轴上截得的弦RG的长为4.
(Ⅰ)求圆心的轨迹E的方程;
(Ⅱ)过点(0,1),作轨迹
的两条互相垂直的弦
,
,设
、
的中点分别为
,
,试判断直线
是否过定点?并说明理由.
(本小题满分12分)某工厂生产某种儿童玩具,每件玩具的成本为30元,并且每件玩具的加工费为元(其中
为常数,且
),设该工厂每件玩具的出厂价为
元(
),根据市场调查,日销售量与
(
为自然对数的底数)成反比例,当每件玩具的出厂价为40元时,日销售量为10件.
(Ⅰ)求该工厂的日利润(元)与每件玩具的出厂价
元的函数关系式;
(Ⅱ)当每件玩具的日售价为多少元时,该工厂的利润最大,并求
的最大值.
(本小题满分13分)一个袋中有大小相同的标有1,2,3,4,5,6的6个小球,某人做如下游戏,每次从袋中拿一个球(拿后放回),记下标号.若拿出球的标号是3的倍数,则得1分,否则得分.
(Ⅰ)求拿4次至少得2分的概率;
(Ⅱ)求拿4次所得分数的分布列和数学期望.