（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，在
直径
的延长线上任取一点
，过点做直线
与交于点
、
，在上取一点
，使
，连接
，交于
．
（1）求证：、、、
四点共圆；
（2）若
，求
的值．
（本小题满分12分）设函数
．
（1）若曲线
在点
处的切线与
轴垂直，求
的极值；
（2）当
时，若不等式
在区间
上有解，求实数
的取值范围．
（本小题满分12分）已知椭圆
的离心率
，左、右焦点分别是
，以原点
为圆心，椭圆
的短半轴为半径的圆与直线
相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设
为椭圆上不在
轴上的一个动点，过点
作
的平行线交椭圆与
两个不同的点，记
，令
，求
的最大值．
（本小题满分12分）在三棱柱
中，
，
，
，
与
相交于点
．
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的正弦值．
（本小题满分12分）某校对数学、物理两科进行学业水平考前辅导，辅导后进行测试，按照成绩（满分均为100分）划分为合格（成绩大于或等于70分）和不合格（成绩小于70分）．现随机抽取两科各100名学生的成绩统计如下：
| 成绩（单位：分） |
 |
 |
 |
 |
 |
| 数学 |
8 |
12 |
40 |
32 |
8 |
| 物理 |
7 |
18 |
40 |
29 |
6 |
（1）试分别估计该校学生数学、物理合格的概率；
（2）设数学合格一人可以赢得4小时机器人操作时间，不合格一人则减少1小时机器人操作时间；物理合格一人可以赢得5小时机器人操作时间，不合格一人则减少2小时机器人操作时间．在（1）的前提下，
（i）记
为数学一人和物理一人共同赢得的机器人操作时间（单位：小时）总和，求随机变量的分布列和数学期望；
（ii）随机抽取4名学生，求这四名学生物理考前辅导后进行测试所赢得的机器人操作时间不少于13小时的概率．
和等比数列
中，已知
，
，
； 
和
；
，求数列
的通项公式
及前
项和
.