（本小题满分12分）某设区举办2010年上海世博会知识宣传活-优题课

（本小题满分12分）
某设区举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案，参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖。
（I）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒总抽两张都不是“海宝”卡的概率是，求抽奖者获奖的概率；
（Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用表示获奖的人数，求的分布列及。

科目数学题型解答题难度中等

在平面直角坐标系 $xOy$ 中， $⊙ O$ 的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = \cos θ ， \\ y = \sin θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数），过点 $(0 ， - \sqrt{2})$ 且倾斜角为 $α$ 的直线 $l$ 与 $⊙ O$ 交于 $A ， B$ 两点．

（1）求 $α$ 的取值范围；

（2）求 $AB$ 中点 $P$ 的轨迹的参数方程．

已知函数 $f (x) = (2 + x + a x^{2}) \ln (1 + x) - 2 x$ ．

（1）若 $a = 0$ ，证明：当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (x) < 0$ ；当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ；

（2）若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极大值点，求 $a$ ．

已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，线段 $AB$ 的中点为 $M (1 ， m) (m > 0)$ ．

（1）证明： $k < - \frac{1}{2}$ ；

（2）设 $F$ 为 $C$ 的右焦点， $P$ 为 $C$ 上一点,且 $\overset{⃑}{FP} + \overset{⃑}{FA} + \overset{⃑}{FB} = 0$ ．证明： $|\overset{⃑}{FA}|$ ， $|\overset{⃑}{FP}|$ ， $|\overset{⃑}{FB}|$ 成等差数列，并求该数列的公差．

如图，边长为2的正方形 $ABCD$ 所在的平面与半圆弧 $\overset{⏜}{CD}$ 所在平面垂直， $M$ 是 $\overset{⏜}{CD}$ 上异于 $C$ ， $D$ 的点．

（1）证明：平面 $AMD ⊥$ 平面 $BMC$ ；

（2）当三棱锥 $M - ABC$ 体积最大时，求面 $MAB$ 与面 $MCD$ 所成二面角的正弦值．

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 $m$ ，并将完成生产任务所需时间超过 $m$ 和不超过 $m$ 的工人数填入下面的列联表：

	超过 $m$	不超过 $m$
第一种生产方式
第二种生产方式

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附： $K^{2} = \frac{n {(ad - bc)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，