(本小题满分12分)已知向量.（1）若,求的值；（2）记，在-优题课

题文

(本小题满分12分) 已知向量.
（1）若,求的值；
（2）记，在△ABC中，角的对边分别是且满足，求函数f(A)的取值范围.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：多面角及多面角的性质

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设函数 $f (x) = x^{3} + 2 a x^{2} + b x + a, g (x) = x^{2} - 3 x + 2$ ，其中 $x \in R$ ， $a, b$ 为常数，已知曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在点 $(2, 0)$ 处有相同的切线 $l$ ．
（Ⅰ）求 $a, b$ 的值，并写出切线 $l$ 的方程；
（Ⅱ）若方程 $f (x) + g (x) = m x$ 有三个互不相同的实根 $0, x_{1}, x_{2}$ ，其中 $x_{1} < x_{2}$ ，且对任意的 $x \in [x_{1}, x_{2}], f (x) + g (x) < m (x - 1)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度 $v$ （单位：千米/小时）是车流密度 $x$ （单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤ $x$ ≤200时，车流速度 $v$ 是车流密度 $x$ 的一次函数．
（Ⅰ）当0≤ $x$ ≤200时，求函数 $v (x)$ 的表达式；
（Ⅱ）当车流密度 $x$ 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时） $f (x) = x \cdot v (x)$ 可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面边长为2，侧棱长为 $3 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 在侧棱 $A A_{1}$ 上，点 $F$ 在侧棱 $B B_{1}$ 上，且 $A E = 2 \sqrt{2}$ ， $B F = \sqrt{2}$ ．

（I）求证： $C F ⊥ C_{1} E$ ；
（II）求二面角 $E - C F - C_{1}$ 的大小．

成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列 $\{b_{n}\}$ 中的 $b_{3}, b_{4} . b_{5}$ ．
（Ⅰ）求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证：数列 $\{S_{n} + \frac{5}{4}\}$ 等比数列．

设 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $\cos C = \frac{1}{4}$ .

（Ⅰ）求 $△ A B C$ 的周长；
（Ⅱ）求 $\cos (A - C)$ 的值．

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