本题满分12分）
某超市为促销商品，特举办“购物有奖100%中奖”活动，凡消费者在该超市购物满10元，可获得一次摇奖机会，购物满20元，可获得两次摇奖机会，以此类推，摇奖机结构如图，将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，落入A袋为一等奖，奖金2元，落入B袋为二等奖，奖金1元，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是
（I）求摇奖两次均获得一等奖的概率；
（II）某消费者购物满20元，摇奖后所得奖金为X元，试求X的分布列与期望；
（III）若超市同时举行购物八八折让利于消费者活动（打折后不能再参加摇奖），某消费者刚好消费20元，请问他是选择摇奖还是选择打折比较划算。
已知向量
，函数
（1）求函数
图像的对称中心坐标；
（2）将函数的图像向下平移
，再向左平移
个单位得到函数
的图像，是写出的解析式并作出它在
上的图像。
如图，
是以
为直径的半圆
上异于
的点，矩形
所在的平面垂直于半圆所在的平面，且
。
（1）求证：
。
（2）若异面直线
和
所成的角为
，求平面
和平面
所成的锐二面角的余弦值。
已知函数
，
（1）若
有最值，求实数
的取值范围；
（2）当
时，若存在
，使得曲线
在
与
处的切线互相平行，求证
。
某中学为丰富教工生活，国庆节举办教工趣味投篮比赛，有
两个定点投篮位置，在
点投中一球得2分，在
点投中一球得3分。某规则是：按先后再的顺序投篮，教师甲在和点投中的概率分别是
和
，且在两点投中与否相互独立。
（1）若教师甲投篮三次，试求他投篮得分
的分布列和数学期望；
（2）若教师乙与教师甲在投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率。
已知函数
，其中m，a均为实数．
（1）求
的极值；
（2）设
，若对任意的
，
恒成立，求
的最小值；
（3）设
，若对任意给定的
，在区间
上总存在
，使得
成立，求
的取值范围．