如图，在五面体中，四边形是正方形，平面，∥，，，。（Ⅰ）求异-优题课

题文

如图，在五面体中，四边形是正方形，平面，∥，，，。

（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）证明⊥平面；
（Ⅲ）求二面角的正切值

科目数学题型解答题难度中等

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下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 $y$ （单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 $y$ 与时间变量 $t$ 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量 $t$ 的值依次为 $α + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}, 即 α = \frac{π}{6}$ ）建立模型①： $\hat{y} = - 30.4 + 13.5 t$ ；根据2010年至2016年的数据（时间变量 $t$ 的值依次为 $\{\begin{matrix} x \geq 2 \\ x - 2 + 2 x - 2 > 2 \end{matrix}$ ）建立模型②： $\hat{y} = 99 + 17.5 t$ ．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知，．

（1）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（2）求 $S_{n}$ ，并求 $S_{n}$ 的最小值．

设函数 $f (x) = |2 x + 1| + |x - 1|$ ．

（1）画出的图像；

（2）当 $x \in [0, + \infty)$ ， $f (x) \leq ax + b$ ，求 $a + b$ 的最小值．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中， $⊙ O$ 的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = \cos θ ， \\ y = \sin θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数），过点 $(0 ， - \sqrt{2})$ 且倾斜角为 $α$ 的直线 $l$ 与 $⊙ O$ 交于 $A ， B$ 两点．

（1）求 $α$ 的取值范围；

（2）求 $AB$ 中点 $P$ 的轨迹的参数方程．

已知函数 $f (x) = (2 + x + a x^{2}) \ln (1 + x) - 2 x$ ．

（1）若 $a = 0$ ，证明：当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (x) < 0$ ；当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ；

（2）若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极大值点，求 $a$ ．

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