（本题10分）（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC6cm-优题课

（本题10分）

（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC=6cm，BC=4cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度；
（2）若点C是线段AB上任意一点，且AC=a，BC=b，点M、N分别是AC、BC的中点，请直接写出线段MN的长度；（结果用含a、b的代数式表示，并填入空格中）
（3）在（2）中，把点C是线段AB上任意一点改为：点C是射线AB上任意一点，其他条件不变，请在“备用图”上画出示意图，并求线段MN的长度，要求写出过程．

科目数学题型解答题难度较易

如图，一次函数 $y = kx + b (k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m^{2} - 3 m}{x} (m \neq 0$ 且 $m \neq 3)$ 的图象在第一象限交于点 $A$ 、 $B$ ，且该一次函数的图象与 $y$ 轴正半轴交于点 $C$ ，过 $A$ 、 $B$ 分别作 $y$ 轴的垂线，垂足分别为 $E$ 、 $D$ ．已知 $A (4, 1)$ ， $CE = 4 CD$ ．

（1）求 $m$ 的值和反比例函数的解析式；

（2）若点 $M$ 为一次函数图象上的动点，求 $OM$ 长度的最小值．

辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元．

（1）求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？

（2）度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润 $m$ 最大，最大利润是多少元？

胜利中学为丰富同学们的校园生活，举行“校园电视台主待人“选拔赛，现将36名参赛选手的成绩（单位：分）统计并绘制成频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：

请根据统计图的信息，解答下列问题：

（1）补全频数分布直方图，并求扇形统计图中扇形 $D$ 对应的圆心角度数；

（2）成绩在 $D$ 区域的选手，男生比女生多一人，从中随机抽取两人临时担任该校艺术节的主持人，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．

（1）计算： $2 \sqrt{\frac{2}{3}} + | {(- \frac{1}{2})}^{- 1} | - 2 \sqrt{2} \tan 30 ° - {(π - 2019)}^{0}$ ；

（2）先化简，再求值： $(\frac{a}{a^{2} - b^{2}} - \frac{1}{a + b}) \div \frac{b}{b - a}$ ，其中 $a = \sqrt{2}$ ， $b = 2 - \sqrt{2}$ ．

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{4}{9} x^{2} + bx + c$ 经过点 $A (- 5, 0)$ 和点 $B (1, 0)$ ．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$ 的坐标；

（2）点 $P$ 是抛物线上 $A$ 、 $D$ 之间的一点，过点 $P$ 作 $PE ⊥ x$ 轴于点 $E$ ， $PG ⊥ y$ 轴，交抛物线于点 $G$ ，过点 $G$ 作 $GF ⊥ x$ 轴于点 $F$ ，当矩形 $PEFG$ 的周长最大时，求点 $P$ 的横坐标；

（3）如图2，连接 $AD$ 、 $BD$ ，点 $M$ 在线段 $AB$ 上（不与 $A$ 、 $B$ 重合），作 $∠ DMN = ∠ DBA$ ， $MN$ 交线段 $AD$ 于点 $N$ ，是否存在这样点 $M$ ，使得 $ΔDMN$ 为等腰三角形？若存在，求出 $AN$ 的长；若不存在，请说明理由．

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