（本题10分）（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC6cm-优题课

（本题10分）

（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC=6cm，BC=4cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度；
（2）若点C是线段AB上任意一点，且AC=a，BC=b，点M、N分别是AC、BC的中点，请直接写出线段MN的长度；（结果用含a、b的代数式表示，并填入空格中）
（3）在（2）中，把点C是线段AB上任意一点改为：点C是射线AB上任意一点，其他条件不变，请在“备用图”上画出示意图，并求线段MN的长度，要求写出过程．

科目数学题型解答题难度较易

（1）计算： $\sqrt[3]{8} + | ﹣ 5 | + （ ﹣ 1 ）^{2023}$ ．

（2）已知一次函数 $y ＝ k x + b$ 的图象经过点 $（ 0 ， 1 ）$ 与点 $（ 2 ， 5 ）$ ，求该一次函数的表达式．

如图，在锐角△ABC中， $∠ A ＝ 60 °$ ，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．

（1）如图1，若 $A B ＞ A C$ ，且 $B D ＝ C E$ ， $∠ B C D ＝ ∠ C B E$ ，求 $∠ C F E$ 的度数；

（2）如图2，若 $A B ＝ A C$ ，且 $B D ＝ A E$ ，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）若 $A B ＝ A C$ ，且 $B D ＝ A E$ ，将 $△ A B C$ 沿直线AB翻折至 $△ A B C$ 所在平面内得到 $△ A B P$ ，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将 $△ P H K$ 沿直线HK翻折至 $△ P H K$ 所在平面内得到 $△ Q H K$ ，连接PQ．在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且 $Q K ⊥ P F$ 时，请直接写出 $\frac{PQ}{BC}$ 的值．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 与直线AB交于点 $A （ 0, ﹣ 4 ）$ ， $B （ 4, 0 ）$ ．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作 $x$ 轴的平行线交AB于点C，过点P作 $y$ 轴的平行线交 $x$ 轴于点D，求 $P C + P D$ 的最大值及此时点P的坐标；

（3）在（2）中 $P C + P D$ 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与 $y$ 轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．

若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．

例如： $M ＝ 2543$ ，∵ $3^{2} + 4^{2} = 25$ ，∴2543是“勾股和数”；

又如： $M ＝ 4325$ ，∵ $5^{2} + 2^{2} = 29$ ， $29 \neq 43$ ，∴4325不是“勾股和数”．

（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；

（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记 $G （ M ） = \frac{c + d}{9}$ ， $P （ M ） = \frac{|10 (a - c) + (b - d)|}{3}$ ．当 $G （ M ）$ ， $P （ M ）$ 均是整数时，求出所有满足条件的M．

如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向， $A C ＝ 200 米$ ．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向， $B D ＝ 100 米$ ．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．

（1）求步道DE的长度（精确到个位）；

（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？

（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）