（本小题满分9分）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点A、-优题课

（本小题满分9分）
如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点A、C，与y轴交于点B，A（，0），且△AOB～△BOC。

（1）求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数的关系式；
（2）在线段AC上是否存在点M（m，0），使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

如图，在平面直角坐标系中，直角 $ΔABC$ 的三个顶点分别是 $A (- 3, 1)$ ， $B (0, 3)$ ， $C (0, 1)$

（1）将 $ΔABC$ 以点 $C$ 为旋转中心旋转 $180 °$ ，画出旋转后对应的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）分别连接 $A B_{1}$ 、 $B A_{1}$ 后，求四边形 $A B_{1} A_{1} B$ 的面积．

已知抛物线 $C : y = x^{2} - 3 x + m$ ，直线 $l : y = kx (k > 0)$ ，当 $k = 1$ 时，抛物线 $C$ 与直线 $l$ 只有一个公共点．

（1）求 $m$ 的值；

（2）若直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于不同的两点 $A$ ， $B$ ，直线 $l$ 与直线 $l_{1} : y = - 3 x + b$ 交于点 $P$ ，且 $\frac{1}{OA} + \frac{1}{OB} = \frac{2}{OP}$ ，求 $b$ 的值；

（3）在（2）的条件下，设直线 $l_{1}$ 与 $y$ 轴交于点 $Q$ ，问：是否在实数 $k$ 使 $S_{ΔAPQ} = S_{ΔBPQ}$ ？若存在，求 $k$ 的值，若不存在，说明理由．

某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 $x$ 米．

（1）若苗圃园的面积为72平方米，求 $x$ ；

（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；

（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出 $x$ 的取值范围．

问题引入：

（1）如图①，在 $ΔABC$ 中，点 $O$ 是 $∠ ABC$ 和 $∠ ACB$ 平分线的交点，若 $∠ A = α$ ，则 $∠ BOC =$ 　　（用 $α$ 表示）；如图②， $∠ CBO = \frac{1}{3} ∠ ABC$ ， $∠ BCO = \frac{1}{3} ∠ ACB$ ， $∠ A = α$ ，则 $∠ BOC =$ 　　（用 $α$ 表示）

拓展研究：

（2）如图③， $∠ CBO = \frac{1}{3} ∠ DBC$ ， $∠ BCO = \frac{1}{3} ∠ ECB$ ， $∠ A = α$ ，请猜想 $∠ BOC =$ 　　（用 $α$ 表示），并说明理由．

类比研究：

（3） $BO$ 、 $CO$ 分别是 $ΔABC$ 的外角 $∠ DBC$ 、 $∠ ECB$ 的 $n$ 等分线，它们交于点 $O$ ， $∠ CBO = \frac{1}{n} ∠ DBC$ ， $∠ BCO = \frac{1}{n} ∠ ECB$ ， $∠ A = α$ ，请猜想 $∠ BOC =$ 　　．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ， $AC$ 的垂直平分线分别与 $AC$ ， $BC$ 及 $AB$ 的延长线相交于点 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $⊙ O$ 是 $ΔBEF$ 的外接圆， $∠ EBF$ 的平分线交 $EF$ 于点 $G$ ，交 $⊙ O$ 于点 $H$ ，连接 $BD$ 、 $FH$ ．

（1）试判断 $BD$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）当 $AB = BE = 1$ 时，求 $⊙ O$ 的面积；

（3）在（2）的条件下，求 $HG \cdot HB$ 的值．