(本题满分8分)如图，在中，，，BC6．是AB边上的一个动点-优题课

如图，二次函数 y＝ ax ²+ bx+ c（ a≠0）的图象交 x轴于 A、 B两点，交 y轴于点 D，点 B的坐标为（3，0），顶点 C的坐标为（1，4）．

（1）求二次函数的解析式和直线 BD的解析式；

（2）点 P是直线 BD上的一个动点，过点 P作 x轴的垂线，交抛物线于点 M，当点 P在第一象限时，求线段 PM长度的最大值；

（3）在抛物线上是否存在异于 B、 D的点 Q，使△ BDQ中 BD边上的高为2 $\sqrt{2}$ ？若存在求出点 Q的坐标；若不存在请说明理由．

△ OPA和△ OQB分别是以 OP、 OQ为直角边的等腰直角三角形，点 C、 D、 E分别是 OA、 OB、 AB的中点．

（1）当∠ AOB＝90°时如图1，连接 PE、 QE，直接写出 EP与 EQ的大小关系；

（2）将△ OQB绕点 O逆时针方向旋转，当∠ AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．

（3）仍将△ OQB绕点 O旋转，当∠ AOB为钝角时，延长 PC、 QD交于点 G，使△ ABG为等边三角形如图3，求∠ AOB的度数．

如图1，在△ ABC中，设∠ A、∠ B、∠ C的对边分别为 a， b， c，过点 A作 AD⊥ BC，垂足为 D，会有sin∠ C＝ $\frac{AD}{AC}$ ，则

S _△ _ABC＝ $\frac{1}{2}$ BC× AD＝ $\frac{1}{2}$ × BC× ACsin∠ C＝ $\frac{1}{2}$ absin∠ C，

即 S _△ _ABC＝ $\frac{1}{2}$ absin∠ C

同理 S _△ _ABC＝ $\frac{1}{2}$ bcsin∠ A

S _△ _ABC＝ $\frac{1}{2}$ acsin∠ B

通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：

如图2，在△ ABC中，若∠ A、∠ B、∠ C的对边分别为 a， b， c，则

a ²＝ b ²+ c ²﹣2 bccos∠ A

b ²＝ a ²+ c ²﹣2 accos∠ B

c ²＝ a ²+ b ²﹣2 abcos∠ C

用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：

（1）如图3，在△ DEF中，∠ F＝60°，∠ D、∠ E的对边分别是3和8．求 S _△ _DEF和 DE ²．

解： S _△ _DEF＝ EF× DFsin∠ F＝　　；

DE ²＝ EF ²+ DF ²﹣2 EF× DFcos∠ F＝　　．

（2）如图4，在△ ABC中，已知 AC＞ BC，∠ C＝60°，△ ABC'、△ BCA'、△ ACB'分别是以 AB、 BC、 AC为边长的等边三角形，设△ ABC、△ ABC'、△ BCA'、△ ACB'的面积分别为 S ₁、 S ₂、 S ₃、 S ₄，求证： S ₁+ S ₂＝ S ₃+ S ₄．

如图，点 A是直线 AM与⊙ O的交点，点 B在⊙ O上， BD⊥ AM垂足为 D， BD与⊙ O交于点 C， OC平分∠ AOB，∠ B＝60°．

（1）求证： AM是⊙ O的切线；

（2）若 DC＝2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．

为了尽快实施"脱贫致富奔小康"宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．

（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；

（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．