因式分解：-优题课

如图， $⊙ O$ 是 $ΔABC$ 的外接圆， $AD$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AD ⊥ BC$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $∠ BAD = ∠ CAD$ ；

（2）连接 $BO$ 并延长，交 $AC$ 于点 $F$ ，交 $⊙ O$ 于点 $G$ ，连接 $GC$ ．若 $⊙ O$ 的半径为5， $OE = 3$ ，求 $GC$ 和 $OF$ 的长．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，一次函数 $y = kx + b (k \neq 0)$ 的图象由函数 $y = \frac{1}{2} x$ 的图象向下平移1个单位长度得到．

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）当 $x > - 2$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y = mx (m \neq 0)$ 的值大于一次函数 $y = kx + b$ 的值，直接写出 $m$ 的取值范围．

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ ACB = ∠ CAD = 90 °$ ，点 $E$ 在 $BC$ 上， $AE / / DC$ ， $EF ⊥ AB$ ，垂足为 $F$ ．

（1）求证：四边形 $AECD$ 是平行四边形；

（2）若 $AE$ 平分 $∠ BAC$ ， $BE = 5$ ， $\cos B = \frac{4}{5}$ ，求 $BF$ 和 $AD$ 的长．

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 mx + 3 m^{2} = 0$ ．

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若 $m > 0$ ，且该方程的两个实数根的差为2，求 $m$ 的值．

《淮南子 $?$ 天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点 $A$ 处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点 $B$ ，使 $B$ ， $A$ 两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点 $B$ 处立一根杆；日落时，在地面上沿着点 $B$ 处的杆的影子的方向取一点 $C$ ，使 $C$ ， $B$ 两点间的距离为10步，在点 $C$ 处立一根杆．取 $CA$ 的中点 $D$ ，那么直线 $DB$ 表示的方向为东西方向．

（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作 $CA$ 的中点 $D$ （保留作图痕迹）；

（2）在如图中，确定了直线 $DB$ 表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线 $CA$ 表示的方向为南北方向，完成如下证明．

证明：在 $ΔABC$ 中， $BA =$ 　　， $D$ 是 $CA$ 的中点，

$∴ CA ⊥ DB ($ 　　 $)$ （填推理的依据）．

$∵$ 直线 $DB$ 表示的方向为东西方向，

$∴$ 直线 $CA$ 表示的方向为南北方向．