（本小题满分14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两-优题课

（本小题满分14分）
已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点
为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）.
（Ⅰ）求椭圆C的方程;
（Ⅱ）设点P是椭圆C的左准线与轴的交点，过点P的直线与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围。

科目数学题型解答题难度中等

在 $△ ABC$ 中，角所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a = 2 \sqrt{2}, b = 5, c = \sqrt{13}$ ．

（Ⅰ）求角 $C$ 的大小；

（Ⅱ）求 $\sin A$ 的值；

（Ⅲ）求 $\sin (2 A + \frac{π}{4})$ 的值．

已知 $1 < a \leq 2$ ，函数 $f (x) = e^{x} - x - a$ ，其中e=2.71828…为自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：函数在 $(0 ， + \infty)$ 上有唯一零点；

（Ⅱ）记x₀为函数在 $(0 ， + \infty)$ 上的零点，证明：

（ⅰ） $\sqrt{a - 1} \leq x_{0} \leq \sqrt{2 (a - 1)}$ ；

（ⅱ） $x_{0} f (e^{x_{0}}) \geq (e - 1) (a - 1) a$ ．

如图，已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ，抛物线 $C_{2} : y^{2} = 2 px (p > 0)$ ，点 A是椭圆 $C_{1}$ 与抛物线 $C_{2}$ 的交点，过点 A的直线 l交椭圆 $C_{1}$ 于点 B，交抛物线 $C_{2}$ 于 M（ B， M不同于 A）．

（Ⅰ）若 $p = \frac{1}{16}$ ，求抛物线 $C_{2}$ 的焦点坐标；

（Ⅱ）若存在不过原点的直线 l使 M为线段 AB的中点，求 p的最大值．

已知数列{a_n}，{b_n}，{c_n}中， $a_{1} = b_{1} = c_{1} = 1, c_{n} = a_{n + 1} - a_{n}, c_{n + 1} = \frac{b_{n}}{b_{n + 2}} \cdot c_{n} (n \in N^{*})$ ．

（Ⅰ）若数列{b_n}为等比数列，且公比 $q > 0$ ，且 $b_{1} + b_{2} = 6 b_{3}$ ，求q与a_n的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b_n}为等差数列，且公差 $d > 0$ ，证明： $c_{1} + c_{2} + \dots + c_{n} < 1 + \frac{1}{d}$ ．

如图，三棱台 DEF- ABC中，面 ADFC⊥面 ABC，∠ ACB=∠ ACD=45°， DC=2 BC．

（I）证明： EF⊥ DB；

（II）求 DF与面 DBC所成角的正弦值．

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