（本小题满分12分）已知向量与，其中,且．（1）求和的值；（-优题课

已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $A$ （2,0），离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，直线 $y = k (x - 1)$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M, N$ 。
（1）求椭圆 $C$ 的方程
（2）当 $△ A M N$ 的面积为 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ 时，求 $k$ 的值。

已知函数 $f (x) = a x^{2} + 1 (a > 0), g (x) = x^{3} + b x$ .

（1）若曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = g (x)$ 在它们的交点 $(1, c)$ 处具有公共切线，求 $a, b$ 的值
（2）当 $a = 3, b = - 9$ 时，若函数 $f (x) + g (x)$ 在区间 $[k, 2]$ 上的最大值为28,求 $k$ 的取值范围

近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

	"厨余垃圾"箱	"可回收物"箱	"其他垃圾"箱
厨余垃圾	400	100	100
可回收物	30	240	30
其他垃圾	20	20	60

（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率;
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率 ;
（3）假设厨余垃圾在"厨余垃圾"箱、"可回收物"箱、"其他垃圾"箱的投放量分别为 $a, b, c$ ,其中 $a > 0, a + b + c = 600$ .当数据 $a, b, c$ 的方差 $s^{2}$ 最大时，写出 $a, b, c$ 的值（结论不要求证明），并求此时 $s^{2}$ 的值.
（注： $s^{2} = \frac{1}{n} [(x_{1} - x)^{2} + (x_{2} - x)^{2} + . . . + (x_{n} - x)^{2}]$ ，其中 $x$ 为数据 $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ 的平均数）

如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90^{°}$ ， $D, E$ 别为 $A C, A B$ 的中点，点 $F$ 为线段 $C D$ 上的一点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使 $A_{1} F ⊥ C D$ ，如图2.

（Ⅰ）求证： $D E ∥$ 平面 $A_{1} C B$ ;

（Ⅱ）求证： $A_{1} F ⊥ B E$ （Ⅲ）线段 $A_{1} B$ 上是否存在点 $Q$ ，使 $A_{1} C ⊥ 平面 D E Q$ ？说明理由.

已知函数 $f (x) = \frac{(\sin x - \cos x) \sin 2 x}{\sin x}$ .

（Ⅰ）求 $f (x)$ 的定义域及最小正周期
（Ⅱ）求 $f (x)$ 的单调递减区间。