解方程：-优题课

如图，在平面直角坐标系中， $∠ ACB = 90 °$ ， $OC = 2 OB$ ， $\tan ∠ ABC = 2$ ，点 $B$ 的坐标为 $(1, 0)$ ．抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 经过 $A$ 、 $B$ 两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 是直线 $AB$ 上方抛物线上的一点，过点 $P$ 作 $PD$ 垂直 $x$ 轴于点 $D$ ，交线段 $AB$ 于点 $E$ ，使 $PE = \frac{1}{2} DE$ ．

①求点 $P$ 的坐标；

②在直线 $PD$ 上是否存在点 $M$ ，使 $ΔABM$ 为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

将矩形 $ABCD$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $α (0 ° < α < 360 °)$ ，得到矩形 $AEFG$ ．

（1）如图，当点 $E$ 在 $BD$ 上时．求证： $FD = CD$ ；

（2）当 $α$ 为何值时， $GC = GB$ ？画出图形，并说明理由．

甲、乙两人分别从 $A$ ， $B$ 两地同时出发，匀速相向而行．甲的速度大于乙的速度，甲到达 $B$ 地后，乙继续前行．设出发 $xℎ$ 后，两人相距 $ykm$ ，图中折线表示从两人出发至乙到达 $A$ 地的过程中 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系．

根据图中信息，求：

（1）点 $Q$ 的坐标，并说明它的实际意义；

（2）甲、乙两人的速度．

如图， $ΔABC$ 为等腰三角形， $O$ 是底边 $BC$ 的中点，腰 $AB$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $D$ ， $OB$ 与 $⊙ O$ 相交于点 $E$ ．

（1）求证： $AC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BD = \sqrt{3}$ ， $BE = 1$ ．求阴影部分的面积．

如图，有一个三角形的钢架 $ABC$ ， $∠ A = 30 °$ ， $∠ C = 45 °$ ， $AC = 2 (\sqrt{3} + 1) m$ ．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为 $2.1 m$ 的圆形门？