（本小题满分14分）建造一容积为8深为2m的长方体形无盖水池-优题课

题文

（本小题满分14分）
建造一容积为8深为2m的长方体形无盖水池，每池底和池壁造价各为120元和80元.
（1）求总造价关于一边长x的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）判断（1）中函数在和上的单调性；
（3）如何设计水池尺寸，才能使总造价最低；

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三面角、直三面角的基本性质

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已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为2,前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ,且 $S_{1}, S_{2}, S_{4}$ 成等比数列.
（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）令 $b_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{4 n}{a_{n} a_{n - 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分，如图，
甲上有两个不相交的区域 $A, B$ ，乙被划分为两个不相交的区域 $C, D$ .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在 $C$ 上记3分，在 $D$ 上记1分，其它情况记0分.对落点在 $A$ 上的来球，队员小明回球的落点在 $C$ 上的概率为 $\frac{1}{2}$ ，在 $D$ 上的概率为 $\frac{1}{3}$ ；对落点在 $B$ 上的来球，小明回球的落点在 $C$ 上的概率为 $\frac{1}{5}$ ，在 $D$ 上的概率为 $\frac{3}{5}$ .假设共有两次来球且落在 $A, B$ 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：
（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和 $ξ$ 的分布列与数学期望.

如图,在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中,底面 $A B C D$ 是等腰梯形, $∠ D A B = 60^{°}, A B = 2 C D = 2, M$ 是线段 $A B$ 的中点.

（Ⅰ）求证: $C_{1} M ∥ A_{1} A D D_{1}$ ；
（Ⅱ）若 $C D_{1}$ 垂直于平面 $A B C D$ 且 $C D_{1} = \sqrt{3}$ ,求平面 $C_{1} D_{1} M$ 和平面 $A B C D$ 所成的角(锐角)的余弦值.

已知向量 $\overset{⇀}{a} = (m, \cos 2 x)$ ， $\overset{⇀}{b} = (\sin 2 x, n)$ ，设函数 $f (x) = \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b}$ ，且 $y = f (x)$ 的图象过点 $(\frac{π}{12}, \sqrt{3})$ 和点 $(\frac{2 π}{3}, - 2)$ .
（Ⅰ）求 $m, n$ 的值；
（Ⅱ）将 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $φ$ $(0 < φ < π)$ 个单位后得到函数 $y = g (x)$ 的图象.若 $y = g (x)$ 的图象上各最高点到点 $(0, 3)$ 的距离的最小值为 $1$ ，求 $y = g (x)$ 的单调增区间.

随机将 $1, 2, \dots, 2 n (n \in N^{*}, n \geq 2)$ 这 $2 n$ 个连续正整数分成 $A, B$ 两组，每组 $n$ 个数， $A$ 组最小数为 $a_{1}$ ，最大数为 $a_{2}$ ； $B$ 组最小数为 $b_{1}$ ，最大数为 $b_{2}$ ，记 $ξ = a_{2} - a_{1}, η = b_{2} - b_{1}$

（1）当 $n = 3$ 时，求 $ξ$ 的分布列和数学期望；
（2）令 $C$ 表示事件 $ξ$ 与 $η$ 的取值恰好相等，求事件 $C$ 发生的概率 $P (C)$ ；
（3）对（2）中的事件 $C$ , $C$ 表示 $C$ 的对立事件，判断 $P (C)$ 和 $P (C)$ 的大小关系，并说明理由。

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